连续函数零点个数的判别准则

朱鹏先 项巧敏

摘 要 本文主要研究连续函数的零点问题。运用函数的单调性、极值以及介值定理等技巧给出判别函数零点个数的充分条件，具体地，分别给出函数具有2和3个零点的判别情况。最后给出具体例子加以验证我们的结果。

关键词 零点 连续 介值定理 极值

中图分类号：G634文献标识码：A

0引言

在本科高等数学的教学中，介值定理非常重要。介值定理可以直接应用于判断函数零点或者方程根的个数。在数学竞赛以及考研中，研究函数的零点或者方程根的个数是一个很常见且最基本的题目。于是研究函數的零点问题具有理论意义。本文借助介值定理，系统地归纳总结出函数具有两个和三个零点的判别准则。

1预备知识

定义1：如果，则称为函数的零点。

定义2：如果为函数的极值，则称为函数的极值点。

引理1：（介值定理）若函数在上可导，在上连续，则至少存在一个点，使得。

2主要结果

定理1：若函数在上可导，在上连续且函数在区间上有一个极值点，

（1）当为极大值点时，如果，，则函数在区间上存在两个零点和;

（2）当为极小值点时，如果，，则函数在区间上存在两个零点和。

证明：（1）因为在上可导，在上连续，

所以在上可导，在上连续。

又因为，所以，。

于是，由引理1可得，至少存在一个点，使得。

观察到，在区间上严格单调递增。因此，是唯一的。

注意导在上可导，在上连续且。

所以，再一次运用引理1可得，至少存在一个点，使得。

由于在区间严格单调递减，从而得到也是唯一的。

综上所述函数在区间上存在两个零点和。

（2）同理，可得结论成立。

推论1：当或者，定理1的结论仍成立。

定理2：已知函数在上可导，在上连续，在区间上有两个极值点和。如果（或）且，则函数在区间上存在两个零点。

证明：不失一般性，我们假设是极大值点，是极小值点且，其他情况可以运用相似的方法讨论。由假设可知函数的图像如图3示：

显然是函数的一个零点。

因为，在上可导，在上连续且。

所以，运用引理1可得，至少存在一个点，使得。

由于在区间上严格单调递增，从而，是唯一的。

故，函数在区间上有两个零点。

推论2：当或者 ，定理2的结论仍成立。

定理3：假设在上可导，在上连续，在区间上有两个极值点和。如果，且，则函数在区间上存（下转第208页）（上接第202页）在三个零点。

证明：不妨假设是极小值点，是极大值点（其他情况可类似讨论，考略到篇幅问题，此处就不一一讨论），函数数图像如图4。

由已知条件我们知道函数在区间和上都满足介值定理的条件，于是对函数在区间和上分别运用引理1可得，

至少存在一个点，，，使得成立。

又因为函数在区间，和，所以，，是唯一的。据此，定理的结论成立。

推论3：当或者，定理3的结论仍成立。

3例子

接下来，我们给出两个实例来验证我们的定理结果：

例1：验证方程在区间上有且只有两个根。

证明：设，

易知，故，由定理2可得函数在区间上有两个零点，即，原方程在区间上有且只有两个根。

例2：设，试证明函数在内恰好有两个零点。

证：，，

而，令，则，

当时，，单调增加;当时，，单调减少，

所以在处取得极大值且。

故，由推论1可得，函数在内恰好有两个零点。

参考文献

[1] 华东师范大学数学系.数学分析：上册（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2] 同济大学数学系.高等数学：上册（第七版）[M].北京：高等教育出版社，2014.