平面多自由度机械手定位误差的反演校正量计算

汤受鹏

（山东商务职业学院机电工程系，山东烟台264670）

0 引 言

机器人的种类繁多，应用非常广泛，比如军用、民用和工业用机器人等[1-2]，其中工业用机器人机械手的研究是人们比较关注的领域。机器人机械手有空间结构和平面结构两种形式，其运动分析和动力学分析基本上是类似的，都是要通过建立基本坐标系和局部随动坐标系及其坐标变换（雅可比矩阵）取得控制空间参量和操作空间参量之间的函数关系方程（组），但这些方程大多为非线性的代数方程或微分方程，其对应的正反演解析求解非常困难。徐建强[3]对并联机构运动分析和动力分析常用的雅可比矩阵求解、直接求导法、牛顿迭代法、影响系数法、虚设机构法和数值搜索法等数学方法做了介绍，这些方法在末端执行器的速度分析和加速度分析及执行力的正反演求解中都有应用；夹具设计及其误差分析理论在机器人的分析中也是可以借鉴的，吴玉光等[4]将工件和夹具系统进行了机构模型化，对夹具定位误差提出了机构学建模方法。由于机器人的控制空间参数和操作空间参数之间的关系大多为强非线性的，一般解析求解很困难，近些年来人们提出的差分进化算法[5]、混沌相乘法[6]、多种群遗传算法[7]、复合形差分进化算法[8]、追随轨迹算法[9]等理论[10-12]都在一定程度上了给出了具体问题的（数值）解。龚星如[13]针对TX90XL工业机器人的运动学建模、标定方法及标定的可行性做了研究；王雪巍[14]对埃夫特工业机器人ER7L的几何误差问题采用预给运动学参数误差方法探讨了长度误差、角度误差及其他一些微小误差对末端定位精度的敏感性问题；廖伟强等[15]对游艺人形机器人的关节结构及运动采用人体工学原理和有限元方法进行了研究，给出了关节位置和速度的求解方法，分析了机器人运动的平稳性等问题；胡俊峰等[16]针对一种新的两自由度柔性并联机械手采用假设模态法和拉格朗日乘子法给出了系统的动力学模型和运动控制模型，并利用坐标分块法对该模型进行了分析求解。理论上机器人在工作过程中按照预先设定的程序是可以准确到达目标工作点的，但实际上是不可能做到的，原因是各种形式的误差总是存在的，这就需要机器人能进行位置传感反馈调整，进行二次补偿定位，这种反馈补偿定位的数学模型原则上一般都是非线性的，但因为目前的设计水平和加工技术等先进设计理念，总是能够做到定位误差是比较小的程度，这个事实使得问题变得简单了，那就是原本非线性反演问题将可以转化为一个比较简单的线性分析模型，这种线性模型一般来说随着机械手的自由度的增加而成为欠定的，即通过该模型的求解将得到无数组反馈调整参数方案，这为下一步的优化寻优带来了方便，本文基于这样的考虑，针对一个平面n自由度机械手执行端的定位误差反演关节参数问题提出了一种线性分析模型，通过建立适当的优化目标函数找到最佳反演关节参数调整解，其中采用了共轭梯度法对目标函数进行了优化寻优，从参考文献看，目前未见有类似文献发表，本文的分析方法和结论对于平面机械手和空间机械手的微调反演问题研究都具有一定的参考价值。

1 问题模型和理论分析

图1所示是一根平面多自由度机械手，它由n根连杆通过n－2个活动平面铰链连接而成，并通过A1处的一个平面固定铰链与基座相连，这是一个开环连接的平面结构，是机器人操作机构上经常采用的结构形式之一。建立图示平面直角坐标系xA1y（固定坐标系，也称基本坐标系）

上述结构中，关节点Aj（j=1,2,...,n）处一般安装有驱动动力 源，An+1处 安装操作手（机器人执行端），为了下文讨论方便起见，不再考虑此处的运动自由度（比如说腕部旋转自由度）。假设点An+1的坐标为（xn+1,yn+1），连杆A1A2与基本坐标系的水平轴（x轴）之间的夹角为θ1，连杆A2A3与连杆A1A2之间的夹角为θ2，依此类推，连杆AnAn＋1与连杆An－1An之间的夹角为θn，并规定凡逆时针转向为正，反之为负。连杆长度分别为Lj（j=1,2,...,n）。

根据图1的几何关系，在某一工序中，机械手位于图示工作位置，即其对应的定位关节参数分别为θj（j=1,2,...,n），容易列出（xn+1,yn+1）与θj（j=1,2,...,n）之间满足的方程组：

假设由于各种原因（比如连杆变形和/或尺寸误差、关节连接处的配合间隙等），该机械手的操作端An+1离真正的目标点存在水平方向的误差ε，竖直方向上的误差η。为此，对式（1）两边同时微分得：

若令dxn+1=ε,dyn+1=η,dθj=δj，则上式可改写为：

式中，δk（k=1,...,n）分别是角度（关节参数）θk（k=1,...,n）的微调量。

式（2）就是在知道ε,η的前提下确定δk（k=1,...,n）的问题，这是一个欠定反演问题，一般来说理论上它具有无穷多组解。此外，根据实际问题的具体情况，比如能量消耗最小或调整效率最高或调整用时最短等要求，总是可以给出一个选定解的评判准则，在优化问题上就是目标函数的构造问题，在这里不失一般性，我们假定该目标函数是解的2-范数，即有如下优化模型：

式中：δ=［δ1,...,δn］T，T为转置。

通过求解式（3），就可以找到取得最小2-范数的反馈误差校正量δ=［δ1,...,δn］T。

对于式（2），选定［δ3,...,δn］T作为自由变量，确定变量δ1、δ2。

以变量（δ3,...,δn）为自由变量，通过式（2）确定变量（δ1,δ2）的方程组为：

式中：

问题的目标函数可进一步写为

显然该目标函数是关于变量δj（j=3,...,n）的二次函数，具有唯一极小点，该极小点满足如下条件：

即

简写之为

式中：x=［δ3,δ4,...,δn］T；

求解线性方程组的方法有很多，考虑到机器人运动定位参数误差反演计算的病态性现象的广泛性，本文采用具有一定抗病态性的共轭梯度法求解上述方程组。

为此，为保证方程组系数矩阵的正定性，将式（9）做如下处理：

容易验证，矩阵B=ATA是对称正定的，且方程组ATAx=ATb与Ax=b有共同解。

具体共轭梯度法求解的迭代过程设计如下

1）给定计算精度γ和初始迭代点x0，计算其负梯度g0=－▽f（x0），并令第一个共轭向量S0=g0。

2 算例结果与分析（swp107）

验证本文算例的已知参数给出为L1=0.2 m，L2=0.3 m，L3=0.4 m，L4=0.5 m，L5=0.5 m，L6=0.8 m；θ1=π/12，θ2=π/10，θ3=π/8，θ4=π/10，θ5=π/9，θ6=π/6；ε=0.006 m，η=0.005 m，计算结果为δ1=－0.0015 m，δ2=－0.0018 m，δ3=－0.0024 m，δ4=－0.0014 m，δ5=－0.0001 m，δ6=－0.0014 m。当ε=－0.004 m，η=0.008 m时，计算结果为δ1=－7.1615×10-4m，δ2=－6.7885×10-4m，δ3=0.001 1 m，δ4=－0.0 008 m，δ5=0.000 m，δ6=－0.0002 m，这些解就是反馈给机械手进行关节微调的量。上述两种情况的寻优都用了四次迭代，迭代速度是非常快的。

从上述计算结果看，在机械手离真实位置存在（位置）误差时，利用本文方法可以快速计算出机械手各个关节处需要微调的参数值，可为反馈控制关节驱动器的驱动方向和调节量提供参考。当然，当选择解的评判标准发生变化时，仅仅需要改变优化目标函数的形式，然后采用合适的线性近似分析即可。

3 结 论

本文对平面n自由度机械手的操作位置误差反馈控制参数反演提出了一种线性分析方法，该法可给出问题的解析解，并能够推广用于机械手的三维真实空间内的误差反演调整量的计算。