基于分数阶傅里叶变换的多分量LFM信号检测与分选方法

翁永祥

（中国电子科技集团公司第五十一研究所，上海201802）

0 引言

雷达侦察作为雷达对抗的关键环节，其性能高低直接决定了后续雷达对抗效能的优劣。近年来，随着新体制雷达技术的不断发展，现代雷达波形愈加复杂，覆盖频段不断扩展，自适应波束形成、空时二维自适应处理、参数捷变等抗干扰技术的使用导致当前战场电磁环境愈加复杂。相对于20世纪70年代，当前电磁环境的信号流密度已呈现指数级的增长，每秒可达到千万脉冲，并且在时域、频域混叠严重。如何从密集、混叠的雷达脉冲流中准确地检测并分选出不同雷达的脉冲序列，对雷达侦察系统中的信号检测和分选技术提出了严峻的挑战和更高的要求［1-3］。

LFM信号作为一种典型的非平稳信号，其大时宽-带宽积特点很好地解决了距离和分辨率之间的矛盾［4-5］，被广泛应用于雷达、通信等军事应用，是当前战场环境中最为常见的一种信号形式，因此，对LFM雷达信号的检测和分选具有重要意义，也是当前研究的热点。文献［6］提出一种基于Cohen类时频分析的信号检测方法，对单分量LFM信号具有较好的能量聚集性，可以得到满意的检测结果，但是对于同时存在多分量LFM信号的复杂场景，该类方法会产生数量受各分量频率和幅度影响的交叉项，而交叉项的存在会影响其对能量较小目标的检测；文献［7］在上述方法的基础上，提出了变参数的Cohen类时频分布核函数，虽然能够实现对交叉项的抑制，但是以降低信号的时频能量聚集性为代价；短时傅里叶变换（STFT）作为一种线性变换［8］，能够有效地消除交叉项，但是其时间分辨率和频率分辨率是相互矛盾的，短时间的观测窗可以获得高的时间分辨率，但是频率分辨率较低，而长时间的观测窗可以获得高的频率分辨率，但时间分辨率低；小波变换是近年来逐步被应用于LFM信号检测的一种时频分析方法，具有多尺度分辨能力［9］，但是小波方法对信号的分解是基于“基函数”的，不同基函数的选择对检测性能影响较大。在信号分选方面，传统的基于频率、脉宽、到达角三参数的分选方法逐渐暴露出对复杂信号表达能力有限的缺点，针对该问题，各种基于特征提取的模式分类方法被广泛研究，例如时域特征提取法，频域特征提取法，自相关特征和谱相关特征提取等，这些方法虽然相对于传统参数能够获得更好的分选结果，但都属于单一特征提取方法，信息提取的维度有限，并且在低信噪比条件下分选性能下降明显［10-13］。

针对多分量LFM信号检测与分选问题，本文在上述研究的基础上，根据LFM信号在分数域具有良好的时频聚集性特点，利用信息熵自适应的选择最优FrFT旋转角度从而实现低信噪比条件下的信号检测，同时将特征提取维度扩展至分数域，提取反应不同辐射源差异信息的三维信号波形特征并利用SVM［14-15］分类器进行分类。基于仿真数据的试验结果表明，该方法可以获得较好的检测和分选性能，并且对噪声不敏感。

1 分数阶傅里叶变换

1.1 分数阶傅里叶变换

傅里叶变换作为信号处理领域使用最为广泛的一种数学工具，在科学理论研究和工程实际应用中都发挥着极其重要的作用，被认为是经典信号处理理论的基础。但是随着人类社会对自然界探索的深入以及信息科学理论研究的逐步完善，除了传统的平稳信号外，非平稳、非线性信号同样广泛存在于自然界，此时傅里叶变换的局限性便暴露出来，作为一种全局变换，傅里叶变换只能对信号进行时域和频域之间的整体转换，无法反应信号的局部特征。而FrFT作为对传统傅里叶变换的一种推广，能够同时对信号的时域和频域信息进行处理，相对于传统傅里叶变换更适用于处理非平稳、非线性信号［16-17］。

图1在时频平面形象地描述了FrFT与传统傅里叶变换之间的关系示意，其中横坐标表示时间t，纵坐标表示频率ω，α为坐标轴沿逆时针的旋转角度。从图1可以看出，当α=0时，对应的曲线为原始时域信号f(t)，当时域信号沿逆时针旋转α= π2时得到信号的频谱F(ω)，这种变换即为传统傅里叶变换。而FrFT可以认为是将时域信号沿逆时针旋转任意α角度得到分数谱f(u)和F(v)的过程，α从0变化到π2的过程中，FrFT展示了信号从时域逐渐向频域的变化过程，因此相对于传统傅里叶变换只能在单一域（时域或频域）对信号进行分析的局限性，FrFT可以在不同分数域同时对信号进行分析和处理，从而可以扩展后续信息提取维度。

图1 FrFT与传统傅里叶变换关系示意图

对于信号f(u)，其p阶 FrFT可以表示为［18-20］：

式中，K p(u，v)为FrFT的核函数，可以表示为：

式中，δ(·)表示冲激函数。

由于实际工程使用中都是针对离散信号进行处理和分析，因此需要将式（1）进行离散化得到离散分数阶傅里叶变换（DFrFT）。目前使用最广泛的是Ozaktas采样型离散方法，该方法首先对原始信号进行时域展开，然后根据香农定理对信号进行插值计算，最后进行得到FrFT的离散化处理结果，即对式（1）按下式进行展开［21-22］：

然后根据香农定理，对 f(u)exp(jπu2cotα )进行插值计算可得：

最后将式（4）代入式（3）即可得到原始信号f(u)的p阶DFrFT为：

式中，n和m分别表示对信号时域和分数域的采样点，N为时域信号采样总点数，时域采样间隔为1Δx。

1.2 多分量LFM信号的Fr FT

多分量LFM信号模型可以表示为［19-20］：

式中，ai和bi分别为第i(i=1，…，L)个LFM分量的频率参数和调频斜率参数，n(t)表示0均值高斯白噪声，方差为σ2w。根据1.1节介绍内容可得s(t)的p阶FrFT为：

老黄说：“他没来，那梁二狗就是他儿子，他刚才喝醉了。就是没喝多，他也不会来，鸟窝大师是个瞎子，他不抢钱，只会编故事。他给我们的傩戏编故事骗鬼，给黄梁驿编故事骗人，他最有名的故事是万花谷。他上知天文，下知地理，去过天宫，游过地狱，能说会道，能掐会算，坐在家里编好了，就让我们派人去长安讲，跟那些算命的、讨饭的、和尚道士，三姑六婆讲，在妓院里讲，在酒楼上讲，在泥巷里讲，由南坊讲到北坊，由东坊讲到西坊。

当对第i个LFM分量得到最优阶次时，可得：

式（8）中，Npi(v)为噪声分量的FrFT，Slp(v)为除第i项LFM信号外剩余信号的FrFT，从式（8）可以看出，当得到第i个LFM分量的最优阶次时，该分量在分数域为冲激函数形式，具有良好的时频能量聚集性，其他分量在分数域的能量也集中在某一频段范围内，而对于高斯白噪声，其能量对任意阶次FrFT都均匀分布在整个平面内，因此经过FrFT后信号的信噪比提升了［19］。

利用FrFT对LFM信号进行分析时，最优阶次的存在使信号的时频聚集性出现了一定的不确定性，而信息熵是一种常用的描述信号不确定度的物理量，信号随机性越大（越接近于白噪声），其对应的信息熵值越大；信号的随机性越小（越接近于冲击函数），其对应的信息熵值越小。假设随机过程中样本xi出现的概率为p(xi)，则该随机过程的信息熵可以表示为：

因此，根据信息熵理论，对多分量LFM信号进行FrFT后，熵值最小时对应的旋转角度为最优解。得到最优的旋转角度后，根据文献［19～20］所述方法得到对应LFM分量参数a和b。

1.3 特征提取

在完成对LFM信号的检测后，一种方式是直接利用估计得到的信号参数（例如频率，调频斜率等）进行分选，信号参数作为描述信号的单一特征，当电磁环境较为复杂时，不同LFM信号参数交叠在一起，直接进行分选效果较差。而波形特征能够更好的展现信号的内在信息，本文在对信号进行FrFT变换的基础上，提取以下三维特征进行分选：

特征1：FrFT信号的梯度和特征。

式中，find(·)表示计算满足条件的样本点数运算。

特征3：FrFT信号的熵特征，熵的定义如式（9）所示。

2 仿真实验

仿真实验中按照式（6）构建包含三分量的LMF信号，仿真参数如表1所示，首先假设初始信号不含噪声，并且为了方便起见假设3个分量信号幅度均为1。对仿真信号进行不同阶次的FrFT（从0到2阶，步进为0.1），然后根据式（9）计算不同阶次FrFT信号对应的信息熵值，得到熵值随FrFT阶次变化曲线如图2所示，可以看出曲线在阶次为0.4，1.2和1.7处出现三个极小值点，根据上述分析可知该信号由3个LMF分量组成，同时0.4阶的熵值最小，表明此时时频聚集性最好，对应的信号为分量1，这是因为分量1的脉宽最大，在3个分量幅度相同的情况下，可以认为分量1所含信息最多，同样1.7阶的熵最大，对应的信号为分量2，1.2阶次对应的信号为分量3。得到最优阶次后，可以得到对应的参数a和b的估计值如表2所示［19-20］，其中平均误差定义为可以看出在高信噪比条件下，所提方法得到的参数估计精度较高，满足使用要求。

表1 仿真参数

图2 信息熵值随阶次变化曲线

表2 高信噪比条件下所提方法参数估计精度

为了评估所提方法在低信噪比条件下的信号检测性能，采取向仿真数据加入高斯白噪声的方式进行验证（采用MATLAB自带的AWGN（）函数，信噪比定义如式（12）所示，图3（a）和图 3（b）分别给出了在不同信噪比条件下所提方法的参数估计平均误差，同时给出了采用STFT方法得到参数估计平均误差便于对比。从图3可以看出，当信噪比高于5 dB时，所提方法的估计误差减小并趋于稳定，明显优于STFT方法。

图3 不同信噪比条件下参数估计精度变化曲线

为了进一步验证基于FrFT提取的波形特征，对表1给出的信号参数增加方差为1%的随机扰动，模拟实际复杂场景下的测量误差，总共得到450组仿真数据，每个LFM分量150组。然后从中任意选取1/3作为训练数据（共150组，每个LFM分量50组），剩余2/3作为测试数据（共300组，每个LFM分量100组）。根据典型信号分类过程，首先根据1.3小节介绍的方法对训练数据提取上述三维特征，得到特征向量，然后利用特征向量对SVM分类器（SVM分类器选用高斯核，利用交叉验证的方式确定核函数为1.6）进行训练得到最优分类面，最后对测试数据提取相同的三维特征，利用最优分类面进行分类，得到的分类结果混淆矩阵如表3所示，并与传统基于频率、脉宽和到达角的三参数特征提取方法进行对比，可以看出利用所提方法能够得到高达94.57%的正确分类结果，明显高于三参数方法88.52%的分类结果，同时对于每一个LFM分量，所提方法均可以获得最优的分类性能。

图4给出了不同信噪比条件下分类结果变化曲线，可以看出当信噪比高于5 dB时，所提方法的分类结果趋于稳定（高于85%），并且在不同信噪比条件下分类结果都高于基于三参数特征的分类方法。图5（a）和图5（b）分别给出了SNR为5 dB条件下所提特征的归一化特征值分布图和相同条件下三参数特征的归一化分布图。从图5可以看出，信噪比为5 d B时，所提特征在特征域分布差异较大，可分性明显高于对比方法。

表3 高信噪比条件下分选结果

图4 分类结果随信噪比变化曲线

图5 信噪比为5 dB式三维归一化特征分布图

3 结束语

随着雷达技术的发展，当前战场电磁环境愈加复杂，传统采用脉冲描述字（PDW）和直方图的信号检测和分选方法已难以满足实际使用需求。本文针对战场环境下最常见的多分量LFM信号检测和分选问题，提出一种基于信息熵优化的FrFT方法，首先利用信息熵准则确定最优的FrFT阶次，利用LFM信号在分数域的时频聚集性实现信号检测和参数估计，然后将特征提取空间扩展至分数域，提取反映不同分量波形差异的特征并利用SVM分类器进行分类，最后采用仿真数据对所提方法的性能进行验证，结果表明，当信噪比高于5 d B时所提方法可以获得较高的检测性能和参数估计精度，同时所提特征具有较好的可分性，能够获得高于85%的分类结果。