一节会生长的数学课

李国良

【摘要】数学课程标准在实施建议中指出：数学教学要密切关注学生的个体差异，有效地实施有差异的教学，使每个学生都能得到充分的发展。因此，教学时给学生搭建一个有差异的“脚手架”，让不同的学生能在自己的最近发展区内学到知识、发展能力。本文通过对鸡兔同笼问题前概念的调查，运用有差异的学习单——智慧卡A、B、C，让三类不同的学生通过寻求不同的解决问题的方法来理解方法之间的联系，最终使每一类学生在原有基础上得到提升，实现新知识学习的因材施教。

【关键词】生长 差异 研究

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：数学课程应致力于实现义务教育阶段的培养目标，要面向全体学生，适应学生个性发展的需要，使得人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。这给数学课堂教学提供了启示，在教学中教师要尊重每一个学生的个性差异，让他们在原有认知基础上得到提升。

人教版数学四年级下册“鸡兔同笼”问题的教学内容，共安排了1个例题、10个练习题。教材从名著《孙子算经》记载的题目引入：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？在考虑学生认知的基础上把题目中的数量适当地变小，改变成：上有8个头，下有26只脚，鸡兔各有几只？随后，教材通过列表和假设法来解决这个问题，在阅读资料板块中还介绍了“抬脚法”。在实际的教学中笔者还发现：一是“鸡兔同笼”问题由教师分别在一至三年级作为拓展性内容演绎，每一个年级所用的方法不尽相同;二是除上述方法外，教师在其他年级中还采用画图法、砍足法、方程法、数形几何等方法来解决。笔者认为，“鸡兔同笼”问题之所以经典，其奥秘就在于此！

一、不同年级学生认知调查

不同年级的教学，均应尊重学生的认知规律。因此，我们认为可以对一至四年级学生进行“鸡兔同笼”问题的前认知调查，了解学生能否在系统学习这一内容时全面构建多种方法及沟通各种方法之间的联系。

1.调查内容的拟定与思考

笔者针对不同年级学生的认知水平和不同的解决问题的方法拟定了三份调查卷，其中一、二年级的前3题为选择题，三、四年级的前2题为选择题。我们对这些问题按思维层次的四级水平进行了分类。

一级思维层次里三份调查卷均为同一个题目，主要是学生是否知道“鸡兔同笼”这样的数学问题或生活现象，了解学生的课外阅读及家庭教育情况。

二级思维层次中的两个题目属于常识性调查，一、二年级的学生只要知道1只兔与1只鸡分别有几只脚，然后进行简单的加法;而三、四年级的学生考虑到学习水平，题目稍有变化，也就是鸡与兔的只数的变化引起脚变化的规律。

三级思维层次的題目有所不同，一、二年级选用了三、四年级二级思维的题目，而三、四年级三级思维层次与四级思维层次进行了整合，采取同一个题目，但三年级有提示性的解题方法，四年级仅出示题目，要求学生用多种方法进行解答。这样设计主要是为了了解不同层次的学生在思维上有怎样的差异。

四级思维层次的一、二年级题目让学生通过画一画的方法来解答鸡兔同笼问题，了解学生能否正确地画出鸡和兔的只数，这里的缺陷就是只呈现结果，没有呈现画的过程，一只脚画与两只脚一起画所体现出的思维水平有着明显的差异。

2.调查结果的统计与思考

本次调查，我们采取无记名、无暗示、15分钟内独立完成的形式进行，调查对象选定了城区两个学校的学生，其中一、二年级学生共计568人，三年级学生362人，四年级学生341人。对于调查结果，分别进行了梳理与统计（见表1、表2）。

从上述统计中我们可以发现：

一是学生了解鸡兔同笼问题到三年级已有近70%，鸡与兔腿的只数及其变化在一、二年级也不存在较大的问题。因此，这给鸡兔同笼问题的教学提供了依据，在用画图、列表及计算方法解决问题的过程中均需要鸡与兔只数的变化引起脚只数的变化的规律。

二是从一、二年级画图解答（正确率68.8%）到三、四年级多种方法解答，我们认为学生到了四年级已经具备用不同的方法解决鸡兔同笼问题的能力。在统计中发现三年级解答的方法要多于四年级，其中三年级用一种方法解答的有183人，用两种方法的有95人，用三种方法的有14人;而四年级用一种方法解答的有230人，用两种方法的只有45人，用三种方法的仅2人。究其原因，笔者认为三年级的解答时给予了提示：用画图、列表、计算等方法;而四年级的题目相对开放，在统计表可以清晰地看出，四年级大部分集中在用计算的方法解决，三年级三种方法相对均匀。因此，对于不同的学生提供一定的“脚手架”是需要的，让学生在自己的最近发展区里得到进步，这也为实施差异教学提供了现实的依据。

二、运用差异教学的实践研究

1.对差异教学的认识

我们认为，差异教学是在班集体教学中立足学生差异，满足学生个别化需要，促进学生在原有基础上得到充分发展的教学。它分别关注着某类学生的学习需求，既看到学生的学习共性也看到学生的学习差异并且尊重学生的认知、心理等差异情况。

在大班级授课制的情况下，教师也较为重视对学生的因材施教，但往往比较强化在巩固练习的环节中进行有分层化的教学，设置一些闯关题、层次性思维题，而忽视在新知识的研究过程中实施有差异的教学，这样使部分在学习上有困难的学生在新知识的学习过程中存在着欠缺，造成思维的断层。因此，在新知识的探究过程中需采用差异教学的方法与手段使人人学到不同的数学，最终达到共同发展。

2.设计有差异教学的内容

按常规的分法，班级中学生的思维水平一般有3个层次，即好、中、差，对应的学生就是优等生、中等生、学困生。因此，我们针对这三类学生运用智慧卡的形式设计三个层次的题目（见表3），每个智慧卡均由两个小问题组成。

智慧卡A，它面向全体学生但主要针对学困生，第一题让学生通过动手操作来画出鸡兔各有几只;而第二个问题主要在画的过程中想一想如何可以比较优化快速地得到鸡兔各几只，也渗透着假设的思想。智慧卡B，它面向前的学生，主要针对中等生，让学生通过凑的方法（列表的雏形）来得出鸡兔各几只，同时在凑的过程中思考如何能有效地凑出鸡兔各几只，如全部假设成兔或鸡，也可以“中间开花”，逐步体验到鸡兔只数的变化引起脚只数的变化的规律。智慧卡C，是思维层次最高的题目，直接让学生通过算的方法得出鸡兔各几只，并让学生思考如何向其他的同学解释清楚。这里不仅要会算还要会说，而且表达得让全班同学明白其中的意思。

在教学实践的过程中，我们让学生根据自身的能力与水平选择一张智慧卡进行解答，当然学生选择了其中一张智慧卡解答后，还可以选择其他的智慧卡进行探究。这样不仅让学生有多元选择的机会，体验到不同方法之间的联系，同时对自己也有一个充分的评价与激励，逐渐帮助学生提高学习数学的积极性。

3.实施有差异的教学

基于对学生的认知基础的调查，我们认为本节课可以让学生充分体验用不同的方法来解决鸡兔同笼问题，在不同的方法中寻找相同点，实行方法之间的沟通和不同思想（数形结合思想、枚举思想、假设思想、方程思想）的有机整合。

环节一：结合认知基础，寻找差异方法来解决问题

课始，课件出示鸡兔同笼问题的古典题目（如图1），组织学生理解题意并进行解读：鸡和兔在同一个笼子里，上面数头有35个，下面数脚有94只，问鸡和兔各有多少只？根据解决复杂问题需要从简单问题入手这一原则，笔者出示本节课重点要研究的核心题目：笼子里有若干只鸡和兔，上面数头有6个，下面数脚有20只，鸡和兔各有多少只？随即出示研究建议和智慧卡A、B、C（如表3），组织学生选择其中一张智慧卡进行解决，解答后可以再选择其他智慧卡进行研究，比较解答的方法有什么区别和联系。

笔者认为，本环节设计较为简洁，又指向课堂的核心问题，旨在让学生从有趣、复杂的数学问题中运用简单的方法来寻求解决问题的路径，根据自己对题目的解读能力选择其中一种或者两种方法尝试解决，尊重了學生的认知差异与学习能力。

环节二：运用不同方法，寻求差异理念下的共同提升

利用不同的智慧卡解决问题后，需进行集体反馈，以便让每一个学生知道其他同学运用了怎样的方法来解决，让差异学习的思想进行无痕的渗透。

组织学生汇报智慧卡A，出示学生画的图（如图2），让学生说说是怎么画的。

生1：先把所有的鸡画出来，鸡有2条腿，发现腿少了，所以我又补了8条腿，就是鸡有2只，兔有4只，刚好是20条腿。

生2：先把所有的兔画出来，因为兔有4条腿，多了4条，也就是每只兔要擦去2条腿，兔有4只，鸡有2只。

师：请大家想一想，用画图方法的这些同学怎样向我们解释清楚是怎么画的？有没有什么好的方法？

生3：先画鸡，每只鸡2条腿，就是12条腿，发现少了8条腿，而1只兔是4条腿，比鸡多2条腿，所以在每只鸡上添上2条腿，就是兔的只数4只。

生4：如果先画兔，每只兔4条腿，这样是24条腿，发现多了4条腿，而1只鸡比兔少2条腿，所以每只兔擦去2条腿，就是鸡的只数2只，剩下的兔就是4只。

师：这两种方法有什么共同点？

……

接着，集体交流智慧卡B的解答情况。先让学生们想一想采用凑的方法来解答的同学们是怎么来凑的。随后，选择智慧卡B的学生上台讲解自己是如何快速地解答出鸡和兔的只数。

生1：先假设全部是鸡，就是6只鸡0只兔，鸡有12条腿，兔的腿是0条，共有腿12条，少了，再假设鸡4只，兔2只，鸡的腿是8条，兔的腿是8条，合起来16条，发现还少4条;因为少1只鸡多1只兔，腿的只数会增加2条，还相差4条腿，最后再假设鸡有2只，兔有4只，腿刚好是4+16=20条。

生2：先假设全部是兔，6只兔0只鸡，兔有24条腿，共有腿24条，多了4条;因为鸡与兔相差2条，再假设兔少2只，就是4只兔，鸡有2只，腿刚好是4+16=20条。

生3：先假设3只兔和3只鸡，兔有12条腿，鸡有6条腿，发现腿少了2条，那就兔变成4只，鸡变成2只，刚好是20条腿。

师：这三种方法有什么共同点？

……

教师在此基础上，归纳出“凑”的方法其实是用列表的方法来解答鸡兔同笼问题。

最后，交流智慧卡C的解题方式。交流前让选用智慧卡A、B来解决问题的学生说说可以怎样列式计算，让他们从画图和列表两种解题的路径中寻找如何假设鸡或兔来寻求答案，在列出算式（20-6×2）÷（4-2）或（6×4-20）÷（4-2）进行解答的基础上，说说每一个算式中的每一步所表示的意思，并研究两种方法之间的异同点。

我们认为，选择智慧卡A、B、C来解答问题只是一种形式，是为不同的学生搭建一个支架来寻求解决问题的方法，而采用滚动式的方法进行汇报与交流，可以让每一个学生在同伴的帮助下理解每一种方法，实现在差异教学的理念下的共同发展。

环节三：基于相同思想，探索知识的延伸

笔者认为，上述三种是解决鸡兔同笼问题的常见方法，看似路径不同，其本质思想是相同的。通过思考画图、列表、计算这三种方法之间的联系与区别，从而揭示它们之间均渗透了假设的思想。

要充分感悟假设这一思想可以进行适当的知识延伸，对五年级用方程和七年级用二元一次方程来解决进行适度的研究。在教师的引导与讨论下，出示五年级和七年级的解题方法：假如兔有□只，那么鸡有（6-□）只，腿的条数就是4×□+（6-□）×2=20只;如果兔有□只，鸡有○只，那么□+○=6，4×□+2×○=20只。随后，揭示这两种方法与前三种方法的联系，进一步渗透假设思想。

在“互联网+”的教育大背景下，让学有余力的学生接触深层次的知识是必要的，也是可行的，能使他们在原有知识建构的基础上实现结构化的学习，进一步理解知识的来龙去脉及知识背后的数学思想与方法。

多元智能理论指出：人的智能有八个方面，每个人在每个智能领域有着一定的差异。数学教学应充分尊重这种差异，根据智能的优势和劣势选择最适合学生个体的方法。因此，笔者依据这一教学理念，充分关注学生个性差异，借用于智慧卡A、B、C给学生搭建学习的平台，让不同的学生在解决鸡兔同笼问题的过程中能主动尝试从数学的角度运用所学知识和方法寻找解决问题的策略，使每一个学生不仅在知识上得到生长，而且在学习的方式、方法与策略上得到充分的发展。