探讨微积分中极限的计算方法

郎晓琴 帅昌浩

摘  要：极限思想是微积分的基本思想，是一系列重要概念比如导数、连续、定积分等的理论基础，也是很多问题的求解工具。正确掌握极限的运算方法和运算技巧，对学好高等数学具有重要意义。该文通过归纳和总结，主要介绍了求解极限的几种方法，并针对每种方法给出了例题的解析，以期读者能从中获取一些解题的灵感，使解题思路更加清晰。

关键词：微积分  极限  函数  计算方法

Abstract： Limit thought is the basic idea of calculus， is the theoretical basis of a series of important concepts such as derivative， continuity， definite integral and so on， and Its also a tool for solving many problems. It is very important to master the method and skill of limit calculations correctly when we learn higher mathematics. By concluding and summarizing， this paper mainly introduces several methods to solve the limit， and gives some examples for each method， so that readers can catch some inspirations from solving the problems.

在微积分这门课程中，极限的概念占有重要的地位，并以各种形式贯穿全部内容，是微积分研究的重要工具，因此掌握好极限的求解方法是学好微积分的关键所在。该文就求极限的一些方法和技巧做一个比较全面的概括和总结，并通过举例的形式对这些方法做一个说明。

1  极限计算主要方法

利用函数的连续性求极限具体如下。

定理：若函数f在点x0连续，g在点μ0连续，μ0=f（x0），则复合函数g。f在点x0处连续。此方法简单易行但不适合于f（x）在其定义区间内是不连续的函数，即f（x）在x0处无定义的情况。

9  利用泰勒公式求极限

对某些较复杂的函数，用常规方法来做相对比较麻烦或者求不出来，利用泰勒展开式来求极限有时就显得比较方便，实际上前面提到的无穷小替换方法只是用函数的一阶泰勒展开式带入，有些时候用一阶泰勒展开式带入是不够了，需要用更高阶的泰勒展开式带入进去才起作用。在求极限时通常用到的是带有皮亚诺型余项的麦克劳林公式：

在做的时候，根据不同的函数选择合适的阶数和余项。

例9：求极限。

思路分析：由于分母通过无穷小替换后是，所以分子中的泰勒展开式中只需要展开到含有这一项和的泰勒展开式中只需要展开到含有这一项就足够了。将各自的泰勒展开式带入后约掉，就很容易求出极限来。

10  结语

以上方法是在高等数学里求极限的重要方法。在做求解极限的题目时，仅仅掌握以上方法而不能够透彻清晰地明白以上各方法所需的条件也是不够的，必须要细心分析仔细甄选。一个求极限的题目，所用到的方法也不止一个，大家在能够融汇贯通，选择出适当的方法，这样不仅准确率高，而且会省去许多不必要的麻烦，起到事半功倍的效果。笔者作为学生，认识和理解水平有限，该文只是针对最常见的极限的计算方法展开讨论，归纳总结了9种方法，所例举的例子也相对简单，希望这些计算方法对学习极限的同学有所帮助。

参考文献

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[4] 李永樂，王式安.复习全书[M].5版.北京：西安交通大学出版社，2017：1.

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