平面与平面平行的判定方法总结及证明策略

杨亮

摘 要：平面与平面平行的判定是人教A版高中数学必修2第二章2.2.2的一节内容，与直线与平面平行得判定一样，也是可以用定义来做判断，不过比较麻烦，所以自然要去探索诸多严格的判定平面与平面平行的方法，并用文字语言、符号语言来准确描述这些判定方法，整理了他们的常见证明方法，我认为这样更有利于我们的授课，也能开阔学生们的视野，锻炼学生的思维，提高学生们的直观想象、逻辑推理能力。

关键词：平面;平面平行;策略

一、定义法

平面与平面平行的定义是，如果两平面没有公共点，那么两平面平行，定义完全可以作为判定方法来用，但是无法严格的证明，也就是说想证明两个平面没有公共点，需要证明其中一个平面内任何一条直线都平行于另一平面，我们不可能把其中一个平面内所有直线都取出逐一证明其平行另一平面，这是不现实的，所以定义法只能说是一种判定方法，不能成为证明方法.

二、平面与平面平行的判定定理法

探求两个平面平行的条件，要紧紧把握住转化思想，明确方向，应该确定主要思想为降维度，也就是把面面平行转化为线面平行来研究.于是我们最先发现的应该是α内有两条相交直线与β平行，才能保证α∥β，于是我们总结出了第二种平面与平面平行的判定的方法：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行，符号语言：

在有关平行关系的证明中，常用反证法或同一法，下面是严格的证明过程：

该定理若不借助其他命题很难直接证明，笔者在研究了欧几里得证法改进版给出了下面的直接证明方法：

在命题“和同一直线垂直的两个平面平行”成立的前提下，如图设AC=α，AE=b，过点A作AB⊥β垂足为点B，∴AB，AC确定的平面与平面β的交线为BD，∵AC∥β由线面平行的性质定理可得AC∥BD，同理可得AE∥BF，∴AB⊥AC，AB⊥AE∴AB⊥α∴α∥β.

随着时间推移，欧氏证明销声匿迹了， 上面的改进的欧氏证明方法还保持一定数量，而反证法则异军突起，为绝大多数教科书所釆用的主要证明方法，笔者给出以下的四种间接证明法的思路，供大家参考.

反证法证明1：假设α与β不平行，则α∩β，则直线a，b与直线l必定相交或平行，若直线a，b与直线l都相交，则直线 a，b与平面α都相交与已知矛盾.若直线a，b中有一条与α直线l相交，另外一条b与l平行，则直线α与平面α相交，与已知矛盾.

综上，定理得证.

这个判定定理实质上就是用两组线面平行推导出平面与平面平行，之所以把“如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行”作为判定定理，是因为这个定理实现了面面平行转化为已经学过的直线与平面平行的判定！学生理解起来会容易一些，这个定理也体现了“空间问题平面化”的思想.应用时要注意两点（1）有两条直线平行于同一平面;（2）这两条直线必须相交.

三、平面与平面平行的判定定理推论法

把这种证明方法称为平与平面平行的判定定理的推论，下面是严格的证明过程：

因为这个推论实质上是用两组线线平行推导出平面与平面平行，它的证明思路比较判定定理会更直接一点，所以学生更喜欢用这个推论来证明两个平面平行.

四、和同一直线垂直的两个平面平行的判定方法

1、结合空间垂直的特点，我们还能得到第四种判定方法：如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行，符号语言：          ，下面是严格的证明过程：

2、该判定方法也可以有一个推论：如果两个平面的垂线平行，那么这两个平面平行.（可理解为法向量平行的平面平行）這个推论的证明可以由线面垂直的性质可知两条平行线与两个平面都垂直，由上面得判定方法证明可知面面平行.

五、平面平行的传递性判定法

空间里，直线的平行有传递性，那么平面得平行也有传递性：如果两个平面平行于同一平面，那么这两个平面平行，符号语言：

下面是严格的证明过程：

证明：不妨设平面

到此可以总结一下，证明面面平行，要么证明两组线面平行，要么证明两组线线平行，要么证明这两个平面都和同一条直线垂直，要么证明这两个平面都和同一个平面平行。若这四种方法都行不通，则不妨尝试一下反证法.

参考文献：

[1]欧几里得.几何原本[M].西安：陕西科学技术出版社，2003.

[2]马驰.探究课堂提升学生学术素养--以"平面与平面平行的判定定理"为例[J].中学数学月刊，2018，（5）.

[3]余建国.基于“三个理解”的“直线与平面平行”教学实录和反思[J].中国数学教育：高中版，2012，（3）：24-26.