高中数学抽象素养的落地过程再探究

吴文芳

[摘  要] 对于数学抽象的理解，既有比较学术化的，也有比较经验化的. 要想在具体的教学实践中引导学生学会“用数学的眼光看待事物”，还需要教师付出更多的努力. 数学抽象反映学生的主观能动性，数学抽象强调基于概念（定义）与推理的逻辑性. 培育学生的数学抽象素养，就应当坚持这样的几个步骤：第一，精心设计，研究学生的数学抽象基础;第二，创设情境，激发学生的数学抽象动机;第三，适时指导，矫正学生的数学抽象方向;第四，学习反思，巩固数学抽象能力，生成数学抽象素养.

[关键词] 高中数学;数学抽象;核心素养;素养落地

在高中数学学科核心素养当中，数学抽象是第一个核心素养要素. 对于数学抽象的理解，既有比较学术化的，也有比较经验化的. 无论是学术化的理解，还是经验化的理解，都认同数学抽象是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中. 对于高中一线教师而言，经验化的理解往往更加能够让教师形成认识，并且形成实践的能力. 在诸多理解当中，笔者比较喜欢的是史宁中先生所作出的解读：史教授认为所谓的数学抽象，其实就是“用数学的眼光看待事物”. 与此同时，笔者也注意到，要想在具体的教学实践中引导学生学会“用数学的眼光看待事物”，还需要教师付出更多的努力. 基于这样的认识，笔者对高中数学教学中数学抽象素养落地的过程进行了再次探究，取得了一些新的认识，在此总结出来与同行们切磋并分享.

超越浅层理解的数学抽象再认识

数学抽象是数学学科核心素养中六个数学核心素养的要素之一，曾经在很长的一段时间里，很多数学教师对数学抽象的理解就是“将形象的生活事物变成抽象的数学研究对象的过程”，这样的理解不能算错，因为数学抽象就是从形象走向抽象的过程，但是仅仅局限于这样的理解，似乎又不能对高中数学教学产生直接的帮助. 其中的原因究竟在哪里呢？有研究者通过建构数学抽象素养水平评价框架，并且利用自编的数学抽象素养水平测试卷，对某省高中生数学抽象素养水平现状进行研究，研究结果表明：（1）高中生数学抽象素养水平一般;（2）高二与高三学生数学抽象素养水平存在显著差异;（3）高中男生与女生数学抽象素养水平存在显著差异. 这样的研究结果表明，数学抽象远不是我们想象的那么简单，而要想让数学抽象素养要素真正落地，就必须超越浅层理解，真正形成比较深刻的认识. 对此笔者的观点有二：

一是数学抽象反映学生的主观能动性. 数学抽象是发生在学生大脑中的过程，是学生对现实世界进行的抽象反映. 这样的一个过程具有明显的主观能动性. 由于学生个体的不同，所以不同学生个体在数学抽象上也会表现出相应的特征，尽管班级授课制无法兼顾学生个体的差异，但客观上不同学生个体在进行数学抽象的时候差异确实是存在的，针对不同的学生群体（如上面所提到的学段差异、性别差异等）进行不同的教学设计，是培养学生数学抽象素养的重要前提.

二是数学抽象强调基于概念（定义）与推理的逻辑性. 没有基本的数学概念与逻辑，是无法进行数学抽象的，从这个角度来讲，学生已经掌握了的数学概念包括其定义以及推理能力，是数学抽象的工具. 从建构主义学习观的角度来看，数学抽象的过程也是一个自主建构的过程，概念（定义）相当于建构主义学习观所强调的先前经验，而基于逻辑的推理则是一种主观建构活动. 因此要想培育学生的数学抽象这一核心素养要素，教师应当尽可能地为学生夯实定义与推理基础.

基于以上两点认识，在数学抽象这一核心素养要素培育的过程中，为学生奠定数学抽象的基础，然后赋予学生足够的数学抽象时间与空间，可能更加重要.

数学抽象素养落地过程的再探究

有了上述认识之后，到了具体的教学过程中，本着“依靠数学抽象过程生成数学抽象核心素养”的认识，培育学生的数学抽象素养，就应当坚持这样的几个步骤：第一，精心设计，研究学生的数学抽象基础;第二，创设情境，激发学生的数学抽象动机;第三，适时指导，矫正学生的数学抽象方向;第四，学习反思，巩固数学抽象能力，生成数学抽象素养. 下面来看一个例子.

在“空间几何体的三视图和直观图”知识的教学中，一个基本的问题是：学生已经认识到了柱体、锥体、台体、球体以及简单组合体的结构特征，那么如何用平面图形来表示这些立体呢？在具体的教学过程中，这个问题可以作为激发学生进行数学抽象的动机的问题. 但是激发学生的数学书上动机有一个前提，那就是教师必须清楚地知道学生要进行这一知识的数学抽象，必须具有什么样的知识基础与推理能力基础.

根据笔者的教学研究发现，知识基础的问题基本上是不大的，因为上面所提到的立体在学生的生活中是比较丰富的，学生具有比较丰富的表象. 相比较而言，学生的推理能力可能存在一些障碍，通俗地说就是“学生的空间想象能力比较薄弱”——空间想象能力薄弱的真正原因就是空间推理能力薄弱. 关于这一点高中数学教师一定要有一个清醒的认识，尽管高中学生的抽象思维能力比较强，但是空间想象与空间推理能力确实比较薄弱，对学生的空间推理能力预期低一点，往往可以在这一知识的教学中很好地实现数学抽象素养的培养.

有了上述认识，在创设情境的时候，可以在上述问题的基础上，引导学生认识到观看立体图形的角度不同，所形成的平面观感就不同，因此要比较准确地表示出一個空间几何体，就需要从多角度形成认识. 在这一基础上，建立起空间几何体的“三视图”就水到渠成，其后也就进入了数学抽象的核心阶段.

在这个阶段，教师可以借助于现代教学手段，让学生去观看“手影”（如图1），但是这个观看过程与生活中的观看有所不同，其强调学生在认识三视图时的想象与推理.

对于推理，笔者是这样设计教学的：首先，提供光源，让学生想象如果该光线照着手，那看到的手影是什么样的？当然，此时学生更多的还是形成的一种平面认知;其后，再提出问题：如果改变手的位置，那手影的形状会如何变化？学生对这个问题的回答就需要推理思维，当学生有了猜想之后，教师再通过实际情形去让学生验证自己的猜想，这样的一个过程有助于学生修正自己的错误猜想，从而形成正确的推理能力. 在此之后，再提出三视图的三种情形，即“光线从几何体的前面向后面正投影”“光线从几何体的左面向右面正投影”“光线从几何体的上面向下面正投影”，让学生去想象投影后的图形是什么样子. 由于上面进行了想象、推理能力的培养，所以在这个教学环节，学生可以更好地建构起正视图、俯视图和侧视图三种情形. 考虑到学生之间的差异，这里的三视图的建构也可以分步骤进行，比如说第一次建立正视图的时候，速度可以放慢一点，可以多次重复来培养学生的空间想象与推理能力;而到了后面研究侧视图和俯视图的时候，速度就可以快一点，这种速度上的“快”，实际上就是在培养学生数学抽象的熟练程度，以让学生形成一种更好的数学抽象直觉. 从思维能力培养角度来看，这种从逻辑推理思维走向哲学思维的培养过程，可以让学生的数学抽象过程变得更加简洁，于是数学抽象能力也就更容易上升为数学抽象素养. 

作为核心素养的数学抽象再思考

分析上面这样一个教学案例，尤其是从学生学习的角度来看数学抽象素养培养的过程，笔者以为有这样两点值得肯定：

一是数学抽象的过程当中，允许学生充分想象，允许学生抽象的结果出现错误，教师主要的任务是基于学生数学抽象的实际结果（无论对错），去分析学生推理、想象过程的对错，然后进行相应的强化（推理、猜想结果正确）或引导（推理、猜想结果错误），由于足够的时间与空间的赋予，学生的主观能动性就可以得到充分的发挥.

二是强调学生在数学抽象过程中的推理逻辑. 比如上面“空间几何体的三视图”教学中，虽然说允许学生的推理或者猜想出错，但是原则上不允许逻辑的胡思乱想，只有强调学生在猜想与推理的过程中能够说出依据，学生才会重视推理过程中的逻辑，只有这样的抽象过程才是合理的. 总的来说，数学抽象的合理性表现在：仅抽取事物对象量的关系和空间形式以及抽象的确定性，在数学教学中应注重贯彻这一特点的教学策略.

综上所述，高中数学教学中培养学生的数学抽象素养，必须建立在深刻理解的基础之上，必须强调学生的主观能动性与抽象过程中的逻辑性，只有这样，数学抽象才有可能从经验理解走向素养培育.