基于快速非奇异终端滑模的多弹协同制导律设计

郭正玉　韩治国

摘 要：针对空空导弹协同攻击高速大机动目标问题，提出了一种带有期望攻击角约束的多弹协同制导律。首先，在纵向平面内建立弹-目几何关系，建立含有攻击角约束的导弹视线方向和视线法向方向的多弹协同制导模型;其次，针对视线方向制导模型，基于代数图论和有限时间一致性理论设计了视线方向上的协同制导律，保证3枚导弹能够实现对目标的协同攻击，并利用现有观测器对目标的机动能力进行估计;再次，基于快速非奇异终端滑模控制理论设计了视线法向方向上的制导律，保证3枚导弹均能够精确命中目标，同时保证弹-目的视线角收敛到期望的终端视线角，视线角速率收敛到0;最后，仿真验证了所设计制导律的有效性。

关键词： 协同制导;攻击角约束;快速非奇异终端滑模;有限时间

中图分类号：TJ765.3 文献标识码：A 文章编号： 1673-5048（2020）03-0062-05

0 引言

空空导弹经过70多年的发展，由最初的无制导火箭弹发展到现在的制导方式多样化，远、中、近距系列化和海、陆、空三军通用化的空空导弹家族，成为空中对抗的主要武器和各军事强国优先发展的武器装备[1-2]。

随着作战环境的日趋复杂，作战目标的不断出现，影响了空空导弹制空作战的效能。采用多枚空空导弹协同作战，使导弹之间能够直接进行信息交互，有效对抗复杂环境，提高对目标的探测和毁伤，特别是针对大机动目标，能够从多个角度、多个方位协同攻击，从而极大地提高作战效能。因此，研究空空导弹的多弹协同制导方法有着重要的理论和现实意义。

协同制导的一个典型应用是导弹同时发射对目标进行攻击。一般地，导弹同时发射的制导律设计，可以根据攻击目标的不同分为两类[3]，发射前预设攻击时间的制导律和在飞行时的实时攻击制导律。第一类制导律的开创者Jeon等人，通过在比例导引的基础上叠加一个对攻击时间的误差反馈，使得导弹的实际飞行时间接近预计的攻击时间。进一步地，Lee等人[4]以及Harl等人[5]分别通过最优控制和滑模控制理论发展了该类制导律。然而，第一类制导律有一个明显的缺点，就是很难对机动目标，尤其是对不确定其运动规律的机动目标设计预计的攻击时间，因此第二类制导律应运而生。为了使攻击时间动态同步，研究者们提出了领-从式协同制导策略和集中式协同制导策略[6-7]。此外，为提高制导系统的适应性和可扩展性，Zhao等人[8]提出了一种通过控制攻击时间的分布式协同制导算法。李强[9]针对协同制导问题，在视线方向，基于一致性理论，设计了控制指令，实现了弹间协同制导;在视线法向，设计了有限时

间收敛的滑模制导律。Zhai等人[10]通过考虑对带有诱饵的目标，运用多个拦截导弹，提出了一种基于区域覆盖的拦截算法，最大程度地提高了联合拦截的成功率。Shaferman等人 [11]提出了一种领弹和从弹之间的协同策略，通过导弹和目标的信息共享提高了从弹的拦截性能。 为减少传递误差，Wang等人[12]提出了一种协同中段制导律，使得中段的导弹可以运用末端导弹所收集的目标信息。

本文在上述研究成果的基础上，针对多导弹协同攻击空中的高速大机动目标问题，提出了一种带有期望攻击角约束的多弹协同制导律，建立了多弹协同制导模型， 并利用数值仿真验证了本文设计模型的有效性。

1 协同制导模型建立

为了简化协同制导模型，将导弹和目标视为质点。基于该假设，本文针对3枚导弹协同攻击高速大机动目标的问题开展研究，弹-目几何关系如图1所示。

图中，Mi和T为第i枚导弹和目标，ri为Mi与T的相对距离，qi为Mi的视线角，vmi和vt为Mi和T的速度，θmi和θt为Mi和T的弹道倾角，ami和at为Mi和T的法向過载，其中，i=1， 2， 3， i为导弹数量。协同制导方程如下[12-13]：

式中： r¨i为弹-目距离对时间的2阶导数;q¨i为弹-目视线角对时间的2阶导数;uri和wri分别为导弹和目标的加速度在视线方向的分量;uqi和wqi分别为导弹和目标的加速度在视线法向方向的分量;uri，wri，uqi，wqi变量的具体表达式可参见相关文献。令x1i=ri，x2i=r·i，x3i=qi-qdi=qei，x4i=q·i，其中，qdi为导弹的期望视线角;qei为Mi的弹目实际视线角与期望视线角偏差，则由式（1）可得多导弹协同制导模型为[12-13]

根据式（2），在导弹视线方向和视线法向分别设计uri和uqi，使得x1i及x2i在有限时间内达到一致，x3i及x4i在有限时间内收敛到0， 最后，将得到的uri和uqi代入式（2）中，并通过仿真验证所设计制导律的有效性。

2 协同制导律设计

2.1 视线方向上的加速度指令设计

基于二阶多智能体系统有限时间一致性原理，设计视线方向上的加速度指令，以保证所有的导弹同时击中机动目标[12]。针对式（2），通过变量代换转化为[13]

式中： xi=x1i，vi=x2i，ui=x1ix24i-uri。

引理1： 考虑式（2）所表示的系统，己知其通信拓扑结构图G是无向连通图，根据无向连通图原理，采用如下的控制律可以保证系统状态在有限时间内趋于一致[11]：

式中： 0<αi<1（i=1， 2， 3）， 2（α1-α3）=（1+α1）α2;sig（x）α1=|x|α1sgn（x）;ψ1和ψ2是奇函数;存在正数bi（i=1，2），yψi（y）>0（y≠0∈R）和ψi（y）=biy+o（y）（y≠0∈R）（在0的域内）成立。

由引理1可知，设计式（5）的制导律可以使得式（2）的状态在有限时间内趋于一致，即实现视线方向的协同制导：

式中： wri为外部扰动的总和，可由下式所构成的观测器进行估计[12-14]：

式中： λji，μji>0（j=1，2，3，i=1，2，3）; w^ri（t）是系统外界总干扰wri的估计值。

2.2 视线法线方向上的加速度指令设计

为方便制导律设计，给出如下引理：

引理2： 对于任意给定的实数λ1>0，λ2>0，0

V·（x）+λ1V（x）+λ2Vk（x）≤0（7）

对于式（7），稳定时间能够用下式进行估计：

Tk≤1λ1（1-k）lnλ1V1-k（x0）+λ2λ2（8）

即系统状态有限时间收敛。 针对制导系统模型式（2），设计非奇异终端滑模面：

s=x3+βsigα（x4）+λx4（9）

式中： β，λ>0; 1<α<2;sigα（x4）=|x4|αsgn（x4）。

本文针对高速大机动目标， 在设计趋近律时，考虑如下含有符号函数的快速幂次趋近律：

s·=-k1s-k2sigγ（s）-εsgn（s） （10）

式中： k1，k2>0;0<γ<1;ε需要满足的条件将在后文给出。

对式（9）求导，可得

s·=x3+（αβ|x4|α-1+λ）-2x2x1x4-uqx1+wqx1（11）

结合式（10）～（11），得

式中： b=αβ|x4|α-1+λ。

定理1： 对于协同制导模型式（2），在设计的制导律式（12）的作用下，可使系统状态x3，x4在有限时间内到达滑模面。在滑模面s=0上，根据快速非奇异终端滑模的基本特性，系统状态x3，x4能够在有限时间内收敛到0，即q·（t）→0，q（t）→qd。

证明： 构造如下的Lyapunov函数：

根据引理1可知，系统状态将在有限时间内收敛到本文设计的滑模面，且收敛时间为

在滑模面s=0上，根据滑模面的性质，系统状态x3，x4将在有限时间收敛到平衡点，即视线角收敛到期望值，视线角速率收敛到0，证毕。

本文在设计滑模面式（9）时，引入了λx4这一项。这一项的作用是避免系统状态x4趋于0时，系统出现奇异现象。如果λ=0，则x4→0，b=αβ·x4α-1→0，進而有b-1→∞，从而系统出现奇异现象。在设计滑模面时，通过引入λx4这一项，使得x4→0，b=αβx4α-1+λ→λ，b-1→λ-1，从而有效避免了奇异现象。

3 仿真分析

为了验证本文所采用的视线方向制导律式（5）与设计的基于快速非奇异终端滑模视线法线方向制导律式（12）在协同制导时的有效性，设计仿真场景： 3枚导弹在有限的攻击距离内，协同攻击1个高速大机动目标。目标的初始位置为（30 km， 29 km），速度为500 m/s，初始航向角为160°，目标机动过载为10gsin（t）。3枚导弹的初始参数如表1所示，导弹最大可用过载30g。

多弹协同既要保证导弹之间实现信息互通、共享其自组织网络能力，还要建立多层面、异构与同构并存的混合体系架构。多弹能够根据态势，采用动态分配的方式实现内部网络成员之间的协同攻击。本文采用有中心的组织架构设计，弹间通讯结构如图2所示，M2即编号为2的导弹， 是3枚导弹的弹群中心，M2与M1和M3均能够传递信息。M1和M3即编号为1和3的导弹，仅能够与M2传递信息，M1和M3之间不进行信息传递，整个弹群由指挥中心对任务进行分配，弹间通讯权系数矩阵可表示为

导弹视线方向的制导律参数选取如下： ψ1（x）=ψ2（x）=x， α1=0.6， α2=0.75。导弹视线法向方向的制导律参数选取如下： α=5/3， β=5， λ=1.2， k1=3，k2=2。

根据上述仿真参数和本文所设计的协同制导律，典型目标和攻击态势的仿真结果如图3～7所示。3枚导弹的制导时间和脱靶量情况见表2。

图3为惯性系下的弹-目运动轨迹曲线，从图中可以看出，采用本文设计的协同制导律，3枚导弹能够同时命中目标，弹道无交叉，导弹不会相互碰撞。图4为弹-目相对距离曲线，同样可以看出，在3枚导弹初始弹-目距离不相同的情形下，

采用本文设计的制导律，在大约15 s左右，3枚导弹实现了弹-目距离协同，3枚导弹能够同时命中目标。图5为导弹的速度曲线，可以看出，为了实现对高速大机动目标的协同攻击，3枚导弹的速度需要按照视线方向过载指令进行变化。图6为导弹视线方向过载曲线，可以看出，导弹在视线方向的最大过载为10g， 在攻击高速大机动目标时，导弹在视线方向的过载没有发生饱和，且视线方向过载曲线变化平稳。图7

为导弹视线法向方向过载曲线，在视线方向的法向，导

弹最大过载为30g，在初始阶段，导弹为了尽快调整弹-目相对位置关系，视线法向方向过载发生了大约5 s的过载饱和现象，5 s之后视线法向方向过载变化非常平稳，在制导末段接近为0，保证能够命中目标。从表2可以看出，3枚导弹的脱靶量均很小。因此，根据上述仿真结

果可以看出，针对高速大机动目标，利用本文设计的协同制导律，能够实现对目标的精确协同攻击。

4 结论

本文针对多导弹协同攻击高速大机动目标问题进行了研究，设计了能够支持多弹协同攻击的协同制导律，并进行了理论建模与仿真分析。仿真结果表明，3枚导弹不但能够命中目标，还能够协同并同时命中高速大机动目标。因此，本文所设计的协同制导律具有先进性，能够提高多导弹制导控制的精确性，提升多导弹协同作战的效能。

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