线性代数教学方法探索与实践

李燕娟

摘 要

线性代数是理工科院校必修的一门数学基础课程，抽象难懂。本文根据课程内容特点，结合教学实践，对教学方法进行初步探索和实践，课堂效果良好。

关键词

线性代数;教学方法;矩阵

中图分类号： G642;O151.2-4          文献标识码： A

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457 . 2020 . 18 . 22

线性代数是理工科专业和经管类专业必修的一门数学基础课，不仅提高学生抽象思维能力、逻辑推理能力，而且为后续专业课的学习奠定一定的数学基础，使专业课的学习更加得心应手。然而，由于线性代数课程抽象性的特点，学时又少，传统的教学方法多数以老师为中心的填鸭式、灌输式等教学模式，很少采用启发式、案例式等教学方法，教师与学生之间的互动较少，学生被动地接受知识，课堂教学效果不好，且不能充分调动学习的积极性，不利于培养学生学习线性代数的思维能力及探索精神。

如何提高学生学习的积极性、主动性，使学生主观的参与教学，那么教学方法的选取尤为重要。教学方法的发展是批判继承继而改进创新的过程，在线性代数课程的教法设计中，应该注重总结传统教学方法的实施效果，进而形成与线性代数教学内容相匹配的“灵活性”教法体系[1]。因此，教学方法的选取应该根据学生专业的特点，各个章节内容的特点，灵活的选取不同的教学方法，改进教学现状，提高课堂教学效果。

1 案例式教学法

案例式教学法即为在教学过程中引入适当的案例，使所讲知识更易简单明了，知识运用更易通俗易懂。教师可根据学生的专业选取相關的案例，鼓励学生参与到学习的讨论中，激发学生学习的兴趣，使学生在轻松的环境中体会所学知识在专业课中的应用，从而提高学习的主观能动性。比如经管类专业学生在学习矩阵知识时，引入案例：某学校准备组建一个机房，需要指定型号的计算机60台，打印机10台，电脑桌椅60套，甲、乙、丙三家公司提供的报价为。

问题：若在一家购买，应选哪家？在讲授时，首先分析表格里面的元素不能随意交换位置，像此类数表就称为矩阵，引出矩阵的概念，指出是3×3矩阵。在解决问题时，引入可否运用矩阵相乘求得结果呢？设矩阵A=6000 3500 4005500 3900 4505800 3600 480，B=601060，求解AB=419000396000412800，根据结果，易判断在乙家公司选购，此时，由于计算量较大，可以简单介绍Matlab中计算矩阵相乘的程序，借助软件简化计算量。通过此案例的选取，首先介绍矩阵概念，进而对矩阵相乘的一个实际应用，最后介绍Matlab中关于矩阵的求解，使得学生较易理解概念，学以致用，从而提高学习兴趣。

2 启发式教学法

讲数学课不易做到语言生动、引人入胜，但可以思路清晰、语言简练、不断提出问题，不断解决问题从而吸引学生注意力，调动学生积极思考[2]。启发式教学法能循序渐进，层层深入地讲解，使学生带着问题去听课，提高注意力。比如在讲逆矩阵时，先引入数的运算，当a≠0时，aa-1=a-1a=1，a-1=为a的倒数（或称a的逆）。提出问题，矩阵是否存在这样的A-1，使得AA-1=A-1A=E？若存在，可否称A-1为矩阵A的逆呢？aa-1=a-1a=1成立的充要条件是a≠0，那么方阵A的逆存在的充要条件是否是|A|≠0？在讲向量组的线性相关性时，有一个定理是若a1，…，ar线性相关，则a1，…，ar，ar+1，…，am（m>r）线性相关[3]，简称为部分相关，则整体相关。提出问题，整体相关，则部分相关吗？若不一定相关，能否找到一个极大线性无关组呢？进而引出向量组秩的概念。这样的教学设计，使学生从简单到复杂，由浅入深的学习过程，比较容易接受新知识，且学习兴趣也比较高。

3 对比分析法

对比分析法，就是根据两个（或两类）对象间的某些方面，推出它们在其他方面也有相似或相同的属性[4]，比如第一章行列式和第二章矩阵，两者的概念完全不同，运用对比分析法，分析两者之间的不同与相似之处，不同之处在于，行列式符号||，矩阵符号[];行列式是一个数值，矩阵是一个数表;行列式的行数等于列数，矩阵的行数与列数不一定相等。相似之处在于，行列式的性质和矩阵的初等变换有相似之处。通过运用对比分析法，使学生较易接受新概念、新知识，并且分清不同之处，在日后的运用时不易混淆。

在讲矩阵的初等变换时，引入例题，解一个非齐次三元线性方程组，先用消元法求解，接着用克拉默法则求解线性方程组，最后用增广矩阵的初等行变换来解，通过对比分析求解过程，发现用矩阵的初等行变换求解线性方程组更简单，直观，学生们也比较容易接受新思想，新方法。

4 总结归纳法

数学教学主要是培养学生的逻辑思维方式，在线性代数的课堂教学中，通过知识点之间的并串联关系，及时地对其进行总结归纳，只有掌握知识点之间的各种关联，才能真正理解知识点的概念实质，才能更好地解决问题[5]。如学完第一章行列式，回顾所讲内容，先介绍二阶、三阶行列式，再推广到n阶行列式，再介绍了行列式的性质与运算，在计算方法上介绍了克拉默法则，也可借助知识框架图，更清晰明了。再比如，第二章讲完矩阵之后，要及时归纳矩阵可逆的充要条件。第三章线性方程组讲完之后，又可以和第二章紧密联系起来，以下七个命题等价：（1）方阵A可逆;（2）|A|≠0;（3）A与单位矩阵E等价;（4）A满秩;（5）A为非奇异矩阵;（6）齐次线性方程组只有零解;（7）向量组线性无关。

向量组线性表示可以与非齐次线性方程组联系，向量组线性相关性可以与齐次线性方程组联系。通过归纳总结所学知识，把看似独立的知识点紧密地联系起来，使学生心中形成一个知识链，有利于日后走向工作岗位养成总结的习惯。

5 抽象具体化法

当讲授内容的定义、定理较多时，学生往往觉得知识很抽象，晦涩难懂，这时需要将抽象内容形象化、具体化，可借助举例说明，在例题中体现定义、定理的思想，使学生能够找到知识的关键点。比如讲授行阶梯形矩阵，行最简型矩阵，标准型矩阵时，虽然学生们知道这三类矩阵各自的特点，但问题是怎样将一个矩阵化为标准型，而有些教材并未涉及相关例题，此时需要举一些简单的例子，将先通过初等行变换化为行阶梯形矩阵和行最简型矩阵，再通过初等列变换化为标准型，在化简过程中要掌握特点。

在介绍完极大线性无关组的定义后，可以举例α1=10，α2=10，α3=10，求向量组{α1，α2，α3}的一个极大线性无关组。根据定义易得出以下结论：向量组{α1，α2，α3}的极大线性无关组是α1，α2，或者α1，α3，或者α2，α3。通过这个例题的讲解，说明两点内容，一是极大线性无关组是不唯一的，二是极大线性无关组所含向量的个数是唯一的，极大线性无关组所含向量的个数又称为向量组的秩，使学生能够明白用定义法怎么确定极大无关组及向量组的秩。

线性代数教学过程是一个动态过程，需根据学生专业、知识水平等情况灵活的选择教学方法，因材施教。同时，这些教学方法要不断实践，在实践中不断改进、创新，不但提高自身教学水平，而且有助于提高课堂教学效果，调动学生学习积极性，培养学生的逻辑推理能力，严谨的数学思维和创新能力，提高学生在知识经济时代的适应力。

参考文献

[1]梁静静.线性代数“灵活性”教学方法设计探究[J].科技创新导报，2018（27）：219-220.

[2]王翠香.线性代数课程的特点与教学方法探究[J].大学教育，2019（11）：91-93.

[3]唐晓文，王昆仑，陈翠.线性代数第二版[M].上海：同济大学出版社，2012.

[4]姜丽颖，张国林.类比方法在线性代数教学中的应用[J].高教学刊，2018（24）：73-75.

[5]孙怡川.浅谈独立学院线性代数课程教学方法的几点体会[J].科教文汇，2018（12）：51-52.