HPM视角下的基本不等式教学 ①

吴佐慧 叶瀚文

(柳州高级中学 545006)

1 引 言

在国内已有的“基本不等式”教学设计中，很多是先通过几何背景或以具体的实例引出基本不等式， 然后给出基本不等式的多种证明方法，如：比较法、分析法和综合法等，即从不同的角度探究基本不等式的证明，如文[1-4]等.张小明老师[5]则以《几何原本》第4卷命题13、沃利斯和阿贝尔关于等周问题的证明为历史素材设计单设计，并用于教学.

为了更好地“借鉴数学知识的发生发展，再现历史上的数学思想方法，采用适当的方式运用数学史料以提升教学的有效性”，我们将“基本不等式”的有关历史素材用于教学，给出 “基本不等式”的一节HPM课例.

为此，我们拟定本节课的教学目标如下：

【知识与技能】

1. 理解基本不等式的内容及证明.

2. 了解算数平均数、几何平均数、调和平均数、平方平均数之间的大小关系及证明方法.

【过程与方法】

1.会初步运用基本不等式证明简单的不等式；

2.经历探究过程，感悟数形结合的数学思想.

【情感态度与价值观】

1. 了解基本不等式背后的数学史与数学文化背景，培养数学学习的兴趣；

2.感受体验数学家探究发现的过程，学习数学家坚持不懈的探究精神.

2 数学史素材的选取及应用

本节课在引导学生探究和理解基本不等式几何意义以及应用的基础上，我们融入了人的元素，通过重构并整合相关的数学史素材，丰富了数学史的运用方式，引导学生挖掘其他更多的中项以及它们之间的不等关系，让学生对其产生了更加深刻的印象与认识.

2.1 古巴比伦数学泥版的“和差术”

两个数与它们的和差之间有如下基本关系：

利用这种关系实施换元的方法称为“和差术”.古巴比伦人在解决一些二元问题时往往利用了“和差术”.由两个等式相乘可得

2.2 赵爽弦图的再探究

数学史中与基本不等式相关的内容并不多，但是如果从数形结合的角度深入挖掘可以发现，与基本不等式相关的图形有很多，例如课本教材中的引入就使用了赵爽弦图.弦图出自三国时期数学家赵爽对《周髀算经》勾股圆方图的注解，原用于对勾股定理的证明.

但是我们发现这幅图当中所蕴含的奥妙不止于此，利用图形之间的面积关系我们还可以得到基本不等式.

图1中包含4个直角三角形、一个小正方形GHEF和一个大正方形ABCD. 假设直角三角形的两条直角边分别为a、b，则由图我们可以得到大正方形面积为a2+b2，4个直角三角形的面积和是2ab；小正方形的面积为(a-b)2.故不难得到a2+b2=2ab+(a-b)2.

可以直观地看到，大正方形的面积大于4个直角三角形的面积，所以有不等式a2+b2>2ab成立.当a2+b2=2ab时，大正方形的面积等于4个直角三角形的面积，通过几何画板的演示不难发现，当G、H、E、F四点重合为一点，即直角三角形变为等腰直角三角形，边长a=b时取到等号. 所以有不等式a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时取到等号. 这就是重要不等式.

图1 赵爽弦图

图2 重要不等式取等号时图形

2.3 毕达哥拉斯学派的探究

公元前6世纪，毕达哥拉斯学派正式提出这两个中项概念. 在《几何原本》卷六命题8的推论中定义了几何中项：“如果在一个直角三角形中，从直角点作一条垂直于斜边的垂线，那么这条垂线是斜边上两条分得的线段的比例中项. ”

毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了三类中项，其中算术中项与几何中项的定义与今天相同，他还增添了一个调和中项，定义为：“如果在三项中，第一项超过第二项的量等于第一项的若干部分，第二项超过第三项的量等于第三项的同样部分，那么我们就得到了调和中项. ”设第一项为b，第二项为x(调和中项)，第三项为a，则有

图3 《几何原本》定义比例中项(几何中项)图形

2.4 帕普斯的证明

在公元3世纪末，数学家帕普斯开始研究其他几类中项的图形表示. 最开始他先利用三角形的关系，找到了调和中项的作图法，其中AC=a,BC=b，过B作AB的垂线DE使得B为DE中点，连接AD，AE，过C作AB垂线交AD于F，连接EF与AB交点为G，则AG为AB与AC之间的调和中项.

图4 帕普斯作出的第一个表示调和中项的图形

图5 帕普斯改进后的图形

此后他开始思考如何在一幅图中找到这些所有的中项并进行大小比较，受到《几何原本》中这一命题的启发，增添了若干辅助线后，找到了这几类中项所对应的线段，在其《数学汇编》卷三第2部分给出了这一图形证明，证明了调和中项≤几何中项≤算术中项.

与基本不等式相关的背景材料有很多，如在《HPM:数学史与数学教育》[11]中就列举了8类素材，为本节课的设计提供了参考.基于本节课的教学目标，从学生的学情出发，我们查阅了相关文献资料选择上述三种证明素材放入本节课的课程设计.赵爽弦图是课本提供的引入例子，这一图形的证明简单直观，我们在微课中利用了这一例子，方便学生的通过课前预习学习与理解重要不等式，并且初步体会图形证明不等式的方法；和差术是这些数学史材料中，历史出现时间最早的，选择这一内容放入可知进行介绍是为了培养学生养成在学习过程中追根溯源，探究本源的思想；毕达哥拉斯学派《几何原本》中的证明与帕普斯的证明一脉相承，从一个半圆形与直角三角形出发，延伸得到四类中项的几何表示，从而完成证明，这一证明过程非常精彩并且层层递进，这一素材放入课堂中，能让学生亲身体验探究证明的过程，培养学生数形结合的意识，有一定难度与挑战性，同时延伸空间大，能充分激发学生的探究欲.

3 教学设计与实施

本节示范课的教学过程主要包含四个环节.教学流程图如下所示：

3.1 课前准备

为了在课堂上给学生足够的时间完成对基本不等式拓展产生的不等式链进行证明与探究，先通过微课，让学生课前自主学习基本不等式的内容，利用赵爽弦图作为示范先从几何的角度证明基本不等式，再利用代数的方法证明不等式，在课前就给学生建立两种不同的思路证明不等式，为课堂上利用图形证明不等式的探究做好铺垫.

图6 课前微课视频1

图7 课前微课视频2

3.2 新知探究

正式课堂的实施过程主要分为如下两个任务环节.

任务一 探究基本不等式几何意义

如图，AB是圆O的直径，点C是AB上任一点，AC=a，BC=b，过点C作PC垂直AB于C，连接AP，PB.请用a，b表示出OP、PC线段.

问题1结合图形，你能给出OP、CP的大小关系吗？并作出合理的解释.

经过2-3分钟的探究后，大部分学生都能正确表示出两条线段，教师让其中一位学生回答其探究结果.学生聚焦于直角三角形APB，通过观察图像发现OP≥PC，据此得出结论：基本不等式的几何意义为“直角三角形斜边上的中线大于等于斜边上的高”.教师继续提问：是否还有别的解释？另一名学生聚焦于半圆，OP为半径，CP为半弦长，从而得出结论：基本不等式的几何意义为“半径大于等于半弦”.

图9 微课视频截图1

图10 微课视频截图2

完成任务一后，教师播放微课视频，追溯了几何中项与算术中项的来历，还介绍了其他几类中项，为课堂任务二的引出作铺垫.

任务二 探究其他几类中项大小关系

如图，AB是圆O的直径，点C是AB上任一点，AC=a，BC=b，过点C作PC垂直AB于C，连接AP，PB.过C作CE垂直于OP，以O为圆心OC为半径作圆，过O作OP的垂线交该圆于点F.请用a，b表示出图中PE、PF线段的长度.

问题2PE、PF、OP、PC四条线段具有怎样的大小关系？是否存在某种情况使得这四条线段长度相等？这四条线段与这几个中项有怎样的联系？

图11 任务二图形

抛出问题之后，学生在课堂上迅速展开思考与探究.由于该图形较复杂，教师给予学生5～8分钟的探究时间，在探究过程中巡堂发现，学生在表示线段PE、PF过程中存在一定的障碍. 大约有7成学生能在课堂上的探究时间中顺利完成表示，并且能将过程详细写出. 并且探究过程中学生发现了这些线段恰好与教师在微课中介绍的各类中项一一对应，从而得到了教师所希望学生探究得到的结果：PE≤PC≤OP≤PF，即调和中项≤几何中项≤算术中项≤均方根：

学生采用的证明形式如图所示，利用射影定理和勾股定理得到结果. 令人惊喜的是，除此之外，学生进行自主探究过程中，还思考了反调和中项如何表示(图12).在教师设计的基础上，学生得出了五类中项的大小关系：

图12 学生现场展示

本环节承接课本探究图形，引导学生进一步探究和挖掘其他不等关系从而得到不等式链，并且完成任务二的探究后，教师展示第二段微课视频，以帕普斯证明这些中项的数学史为背景，让学生体验了探索的过程，了解了相关证明的数学历史，感悟数学家们探索与证明中孜孜不倦的精神.

3.3 数学建模

数学来源于生活且应用于生活. 《普通高中数学课程标准(2017年版)》中强调：“结合具体实例，能用基本不等式解决简单的求最值问题”[7]，进一步突出了基本不等式的实际应用价值与要求，也进一步体现了“数学建模”核心素养的要求.

为了达到以上的相关要求，本节环节设置了任务三，目的就是教师引导学生将所学的知识应用于生活实际的情景中，感受数学在我们生活中应用的魅力. 在课堂上老师展示两道应用题，同时将班上学生分为两大组，第一大组同学完成应用题1，第二大组同学完成应用题2，然后每组选代表进行结果展示.

问题1某人中秋节到超市买2斤糖果，不巧超市的电子秤坏了，但超市还有一个不等臂的坏天平，左臂长为l1，右臂长为l2(l1≠l2)于是售货员先把糖果放在天平的左侧称出重量为1斤，再拿出一些糖果放在天平的右侧称出重量为1斤，然后把两次得到的糖果放在一起看做2斤售出，这样的做法商家赚了还是亏了？

问题2甲乙两位采购员同去一家粮食销售公司买了两次粮食，两次粮食的价格第一次为a元/千克，第二次为b元/千克，两位采购员的购粮方式也不同.其中，甲每次购买1000千克，乙每次购粮用去1000元，问谁的购买方式更合算？

两道题目难度都较为适中，学生基本上都能在老师所给的思考时间内完成.教师在课堂上也邀请了两位学生进行了详细的解答与展示. 两道应用题都与基本不等式有关.例1是直接应用基本不等式比较大小.学生完成建模后得到x与y的关系利用基本不等式可以直接算出最小值.例2是利用调和平均数与算术平均数的大小关系比较单价大小.两道题目都是不等式在生活中的应用例子，并且情景贴近生活，解题过程还体现了数学建模的思想，能帮助学生感受数学应用的广泛性，体会数学的魅力.

本节课结束前，教师布置了以下课后思考题：如图所示，等腰梯形也能作为基本不等式以及各个中项之间大小关系的证明图形.请大家课后思考探究，如何在等腰梯形中找到这些中项呢？

图13 课后思考图形

3.4 课堂小结与反馈

本节课的课堂小结环节，教师设置了三个问题：

(1)本节课我们学习了什么内容？

(2)我们可以从哪些角度证明基本不等式？

(3)通过本节课的学习，你从数学家们探究数学问题的过程中得到了什么启发？

学生通过小结与提升，感悟到了基本不等式图形证明过程中的乐趣，并且感受到数形结合的魅力，数学家探究过程中孜孜不倦的精神也对学生今后的数学学习有所启发与触动.

课后对全班60名学生问卷调查的结果显示：57人(占95%)喜欢老师在课堂中融入数学史的方式，55人(占90%)希望以后多了解与教学内容相关的数学史，53人(占90%)认为通过数学家帕普斯等背景介绍，自己以后在学习中也要有那种不畏艰难、勇于探究的科研精神.

4 教学反思

本节课将有关数学史料融入探究活动的设计之中，并通过数学史微视频，辅助探究活动的开展，是HPM视角下均值不等式教学的一次大胆尝试，呈现了以下特点.

(1)从基本不等式到均值不等式链，构建了“知识之谐”，彰显了“方法之美”，营造了“探究之乐”.

本课例从学生们已有的认知出发，先通过课前微视频从赵爽弦图及代数证明的方式得到基本不等式，接着古巴比伦数学泥版的“和差术”和毕达哥拉斯学派的探究再次得到了基本不等式，并得到了调和中项，最后通过数学家帕普斯探究中项的微视频得到了不等式链，让学生明白基本不等式链是经过数学家们不断地探究，逐步地发展而来的，即重构式，并让学生们体会到数学知识的起源与发展，构建了“知识之谐”，同时也营造了“探究之乐”.多种方法对基本不等式的证明则彰显了“方法之美”.

(2)从代数到几何，实现了“能力之助”.

课例先从古巴比伦数学泥版的“和差术”以及代数证明均“从一些事实和命题出发” ，“在明晰运算对象的基础上”[7]，依据规则推导出了基本不等式.这样的设计利于培养与提高学生“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养.接着毕达哥拉斯学派以及数学家帕普斯的探究等借助几何图形建立起了数与形、式与形的联系，这就培养了学生的直观想象素养[7].最后通过日常生活中的两个具体的例子，引导学生在实际情景中“对现实问题进行数学抽象，用数学的方法构建模型”解决实际问题.这些在核心素养视域下的教学设计实现了“能力之助”.

(3)从现实到历史，展示了“文化之魅”，达成了“德育之效”.

课例中相关历史材料的介绍，让学生们了解并感悟了基本不等式的知识源流；两个具体的实例让学生惊叹基本不等式的应用价值，且真切地感受到数学与日常生活之间的联系以及数学的社会角色；同时学生通过本课例了解到古巴比伦(数学泥版)、古代中国(赵爽)、毕达哥拉斯学派以及欧洲数学家(帕普斯)等不同文化的数学和不同国家的数学家对数学发展的贡献，展示了数学文化的多元性.

同时，本课例以“基本不等式”为例，在展示其丰富的数学历史背景的同时，将数学家的探索过程融入其中，学生在学习过程中能体会、感悟与欣赏.从现实到历史，让学生穿越时空，与数学家对话，走进数学家心灵之中，树立学习数学的自信心.以学生发展为本，落实立德树人根本任务是我们高中数学课程的基本理念，本课例通过数学史的渗透，展示了数学家们探究数学孜孜不倦的精神，潜移默化的影响了学生，达成了“德育之效”.