由特殊结构产生的二元LCD码以及自正交码

陈 行， 唐春明

(西华师范大学数学与信息学院， 四川南充 637009)

0 引言

Hamming， Gallager， Forney分别发明了汉明码[1]， LDPC码[2]， 级联码[3]， 也设计出对应译码算法. 线性码是重要的纠错码之一， 文献[4]构造了几类线性码， 文献[5]计算了不可约循环码的汉明重量， 文献[6-13]是国内外专家对于线性码以及与其相关的研究.

线性补对偶码和自正交码是两类特殊的线性码， 线性补对偶码的研究可追溯到Massey[14]的相关工作， 利用线性补对偶码解决数据储存应用程序问题， 同时Massey[15]将LCD码与非LCD码作了对比， 得出了渐近良好的LCD码存在的结论. Tzeng和Hartmann[16]证明了LCD码的最小码距大于BCH界. 本文构造出了一类LCD码以及自正交码， 并给出LCD码的重量分布.

设C是一个[n,k]线性码， 用Ai表示C中Hamming重量为i的码字的个数， 由此定义C的重量计数多项式为

1+A1z1+A2z2+…+Anzn

称序列(1,A1,A2,…,An)为码C的重量分布， 重量分布给出了码C的最小距离以及它的纠错能力， 码的重量分布对码来说尤其重要.

G=[g1,g2,…,gn]

利用集合D， 可以构造Fp上长度为n的线性码

集合D称为码的定义集，CD为矩阵G的行向量生成的码，CD为一[n,k]线性码， 其中k为矩阵G的秩， 如果Rank(G)=m， 则G刚好为CD的生成矩阵.

本文的主要目的是构建一种特殊的二元LCD码和自正交码， 并且对于构建的二元LCD码， 确定它的重量公式.

1 Krawtchouck多项式

对于任意素数幂q和正整数m， 次数为i的Krawtchouck多项式定义如下：

1957年， Lloyd[18]第一次使用Krawtchouck多项式进行编码理论的相关工作， 设C为Fq上重量分布为{1,A1,A2,…,An}的线性码， 则有如下定理成立.

=Ki(k,m)

2 构造LCD码和自正交码

首先引入几个引理.

引理1[20]设CD为线性码， 集合

由引理1可以得到LCD码和自正交码的判定条件：

引理2[20]设CD为线性码，CD为LCD码(自正交码)的充分必要条件为

Rank(G)=Rank(GGT)(Rank(GGT)=0)

接下来， 将给出具体的集合D来构造二元LCD码和自正交码.

若Oi={v1,v2,…,vhi}， 则令Gi=[v1,v2,…,vhi](i=1,3,…,2l+1). 若D={g1,g2,…,gnl}， 则令G=[g1,g2,…,gnl].

下面将逐步推导出线性码CD为LCD码或是自正交码的充分必要条件.

定理2[20]定义符号如上， 设i是一个正整数， 并且2≤i≤m-1， 那么

在F2上的m阶方阵中， 秩为0,1,m-1,m的矩阵可分别确定为以下四个矩阵

定理3符号定义如上，CD是LCD当且仅当下式成立：

证明充分性： 因为GGT为单位矩阵， 所以Rank(GGT)=m， 则Rank(G)=m， 由引理2可知CD为LCD码.

必要性： 因为CD为LCD码， 由引理2可知，Rank(G)=Rank(GGT)， 又因为Rank(G=m， 则Rank(GGT)=m， 而GGT∈S， 所以GGT只可能为单位矩阵.

定理4定义符号如上，CD是自正交码当且仅当下式成立：

证明由引理2直接得到.

定理5定义符号如上，CD是LCD的充分必要条件为

至此， LCD码及自正交码构造完毕.

3 CD的重量分布

在大多数情况下， 确定线性码的最小距离是非常困难的, 上文提出的LCD码的重量公式可以给出， 主要工具为Krawtchouck多项式.

根据引言中介绍的基础知识， 有如下的结论成立.

wt(Ca)=n-Na

根据Krawtchouck多项式的定义：