完整Euler方程组的自相似解

段文慧，胡燕波，张奇涛

(杭州师范大学理学院，浙江 杭州 311121)

0 引言

球对称运动是气体动力学中一类非常重要的流动，自然界中有许多重要的物理现象会呈现这种流动，如恒星动力学中超新星的形成、空气中的爆炸波等[1-2].球对称运动在爆炸理论中占有重要地位，模拟爆炸最简单的方法就是把它看做一个球形活塞运动，由于球形活塞的均匀膨胀,将未受干扰的气体推到前方从而产生激波.

考虑完整Euler方程组:

(1)

(2)

其中p=p(ρ)为一个已知函数，特别地,对多方气体为p=Aργ，A为常数.如果气流是球对称的，那么解具有以下几何结构

(3)

和

(4)

关于等熵Euler方程组(4)(包括完整Euler方程组(3))解的存在性,目前仍然是公开的难题，特别是对于包含原点的情况，相关结果参见文[3-6]等.若假设流动还是自相似的，则控制系统可以简化非线性常微分方程组.Taylor[7]首先在数值上对等熵Euler方程组考虑这类问题，之后引起了众多研究者的关注[1，8-11].Chen 在文[12]中首次考虑了多维可压缩等熵Euler方程组的活塞问题，并研究了速度势中二阶常微分方程的自由边值问题.关于多维活塞问题的相关结果可参见文[13-14].对于多方气体，Peng和Lien[15]考虑了等熵Euler方程组(4)的活塞问题.通过分析非线性常微分方程系统，并在活塞表面施加适当的边界条件，他们得到了常微分方程问题光滑解的整体存在性.最近，Zhang和Hu[16]研究了等熵Euler方程组(4)带两常数状态方程p=A1ργ1+A2ργ2自相似流动解的存在性.本文主要对多方气体研究完整Euler方程组(3)活塞向外均匀膨胀而产生的自相似流动问题.在自相似假设下，该问题可简化为非线性常微分方程组带某些强加在活塞表面和激波阵面的边值条件问题.我们通过详细分析非线性常微分方程组的性质，证明了正光滑解的整体存在性.

本文的安排如下: 在第1节，我们将问题重述成数学问题，在自相似假设下，该问题转化成非线性常微分方程组带一些强加在活塞表面和激波阵面的边界条件，并且阐述了本文主要结论.在第2节，通过分析非线性常微分方程组的性质证明了若干引理，并利用这些结论证明了主要结论.

1 问题重构与结论

我们寻找具有如下形式的解

(ρ,u,p)(t,r)=(ρ,u,p)(ξ),

(5)

我们引进如下变量

u(r,t)=c0Mf(ξ),ρ(r,t)=ρ0h(ξ),c(r,t)=c0g(ξ),

(6)

则方程组(5)可以简化为

(7)

另一方面，系统(1)的Rankine-Hugoniot条件为

(8)

其中σ是间断速度，[q]:=qr-ql，其中qr,ql是间断线两边的两个状态.在熵条件以及u0=0的假设下，联立式(6)和(8)可得

(9)

为了找到激波处的边界条件，由方程组(9)后面的两个方程得

(γ2M2-γM2+2γ)h2-2(γ2M2+γ)h+γ2M2+γM2=0.

(10)

由式(6)中对h的定义，有约束条件h>1时解才有意义.下面我们证明上式有且仅有一个大于1 的根.令

H(h)=(γ2M2-γM2+2γ)h2-2(γ2M2+γ)h+γ2M2+γM2.

对上式关于h求导得

H′(h)=2(γ2M2-γM2+2γ)h-2(γ2M2+γ),

H″(h)=2(γ2M2-γM2+2γ).

(11)

f(ξb)=ξb.

(12)

因此，问题可重新表述为: 对任意M>1，在[ξb,1]中寻找系统(7)带边界条件(11)(12)的光滑解.我们的主要结论如下：

定理1对于任意的γ>1,M>1，问题(7),(11)(12)在[ξb,1]上存在唯一的正光滑解 (f(ξ),h(ξ),g(ξ)).此外f(ξ),h(ξ) 和g(ξ)在[ξb,1]上是单调递减函数.

2 定理1的证明

在本节中，我们为了方便首先令G(ξ)=g2(ξ).则常微分方程系统(7)变换为

(13)

相对于系统(7)满足边界条件(11)(12)，系统(13)则带有如下边界条件：

(14)

我们寻找当γ>1,M>1时，系统(13)在满足边界条件(14)的正光滑解(f(ξ),h(ξ),g(ξ)).

2.1 若干引理

定义辅助函数

Q(ξ)∶=M2(ξ-f(ξ))2-G(ξ).

(15)

由于ODE系统(13)和边界条件(14)，可以直接计算得到

Q′(ξ)=M2[ξ-f(ξ)][2-(γ+1)f′(ξ)].

(16)

和

(17)

为了证明主要定理，先证明一些引理.

引理1对于任意的γ>1和M>1，有Q(1)<0.

证明由式(17)可知，要证明Q(1)<0等价于证明

(18)

即Q(1)<0，引理证毕.

□

由Q(1)<0知,f(1)>0,f′(1)<0,h(1)>0,h′(1)<0和G(1)>0,G′(1)<0.所以，在ξ=1的小邻域内，f(ξ),h(ξ) 和G(ξ)是严格单调递减函数.我们只要研究辅助函数Q(ξ)以及ξ-f(ξ)，就可证明f′(ξ)<0，即f(ξ)是单调递减的.

□

证明下面分3种情况来证明.

□

(19)

□

2.2 定理1的证明

通过引理4的证明可知，正连续向量函数(f(ξ),h(ξ),G(ξ))是常微分方程系统(13)在ξ=1邻域内[ξb,1]上满足边界条件(14)的唯一正连续解.另外，函数f(ξ)在ξ=ξb满足边界条件(12).除此之外，对于任意的ξ∈(ξb,1]有ξ>f(ξ)，由引理2以及系统(13)可得，在(ξb,1]上有f′(ξ)<0,h′(ξ)<0和G′(ξ)<0.因此，f(ξ),h(ξ)和G(ξ)关于ξ是单调递减函数.根据G(ξ)=g2(ξ)和γ>1可知函数g(ξ)关于ξ是单调递减的.显然，函数(f(ξ),h(ξ),g(ξ))是带有边界条件(11)和 (12)的问题(7)的光滑解.定理1得证.

□