工科线性代数教学的一点思考

2020-08-10 09:25:42 科教导刊·电子版 2020年15期

姜威

摘 要 线性代数是一门理论性与应用性都比较强的学科,是工科专业基础课中十分重要的课程之一。教授这门课的教师应该加强其基本理论的教学,尤其要加强矩阵相关理论的教学。本文就矩阵乘法、矩阵秩与矩阵行列式的教学方法给出了自己的一点想法,希望对学习这门课的学生与教授这门课的教师有所帮助。

关键词 线性代数教学的思想 矩阵的秩 行列式 矩阵乘法

中图分类号:G420 文献标识码:A

0引言

线性代数是一门理论性比较强的学科, 线性代数的主要研究对象是线性空间及其线性空间之间的线性映射。该课程的主要特点是概念众多,知识点环环相扣。该课程的教学难点是如何提高学生们的抽象思维能力和类比归纳能力。学生难学、教师难教是在教学过程中普遍存在的现象。工科线性代数的教学一般只有48学时,如何在这有限的学时里,使得学生们能够较为容易地掌握线性代数这门课的主要思想与方法是每一个从事线性代数这门课教学的教师要思考的一个严肃问题。在教学过程中,应该突出具体的n维欧式空间Rn的教学,也应该突出矩阵相关理论的教学,例如矩阵的秩、矩阵的列空间、矩阵的零空间等知识点都是要重点讲解的内容。

1线性代数教学的一点体会

1.1线性代数的教学安排

同濟大学版教材线性代数首先介绍行列式的相关理论,然后介绍矩阵的基本计算,紧接着介绍线性方程组的一般理论与向量组的线性相关性,最后介绍二次型、矩阵的特征值、线性空间与线性变换。 美国麻省理工学院的Gilbert Strang教授编写的英文版教科书Introduction to Linear Algebra是一本经典教材。此教材首先介绍向量与矩阵的一些预备知识,这些知识点与高中数学链接比较紧密,然后讲解了线性方程组的一般理论、向量空间及其子空间,紧接着讲解了正交性的相关知识点与行列式,最后介绍了矩阵的特征值、奇异值分解、线性变换等知识点。我更喜欢Gilbert Strang教授所著教材的安排,因为Strang教授所著教材与高中数学的知识衔接得更加紧密些,更加适合工科学生的学习。

1.2矩阵乘法的教学思考

设,,

逐元素定义法:定义且。

分块列定义法: 设,是矩阵A与C的列分块,这里的与都是m维的列向量。定义。

分块行定义法:设,是矩阵B与C的行分块,这里的与都是n维的行向量。定义。

这三种定义方式是等价的,分块列定义法与分块行定义法体现了整体的思想。可以看出矩阵C的每个列向量是矩阵A中列向量的线性组合,矩阵C的每个行向量是矩阵B中行向量的线性组合。这三种定义应该在教学中都体现出来,不能只讲逐元素定义法,而不教分块列定义法与分块行定义法。硕士研究生数学一考试中常常涉及到这个考点,2020年的硕士研究生数学一考试就考到了这个知识点。

1.3矩阵秩的教学思考

线性方程组的一般理论是线性代数中十分重要的知识点, 线性方程组有解的充要条件是线性方程组系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩。m行n列的矩阵全体按照矩阵秩可以分成若干个矩阵等价类。 矩阵等价类中每个矩阵的秩是相等的,不同的矩阵等价类的秩是不相等的。上面这些理论结果都涉及到了矩阵的秩,这是线性代数课程中的一个核心概念,因此在教学过程中,应该突出矩阵秩的教学。下面简单谈下矩阵秩的教学,使得这个概念能够让学生很好理解。

由于大一理工科新生在高中阶段接触过空间解析几何的相关知识点,建立空间直角坐标系方法的主要好处是在求解立体几何问题中不用添加必要的辅助线,这对于空间想象能力不好的学生是一个不小的挑战。大一新生学过R2中平面向量的相关知识,知道平面上任意两个向量只有平行与相交这两种位置关系。那么很自然可以提出,在三维R3空间中,任意的三个空间向量存在几种位置关系呢?很明显,三个空间向量不共面与共面是两种特别重要的情况。 当三个空间向量共面时,可以看出至少有一个向量可以通过剩余两个向量的分解表示出来。 当三个空间向量不共面时,可以看出这三个向量中任意一个向量都不能够通过剩余两个向量的分解表示出来。通过这个具体的例子引出R3空间中向量组线性相关与线性无关的概念。然后通过类比的方法把R3空间中向量组线性相关与线性无关的概念推广到Rn的情况。在此过程中需要引入有限个向量的线性组合这个基本概念。 顺便引入由有限个向量生成的线性子空间这个概念,接着定义线性子空间的维数与基这两个重要的概念。事实上,大一新生对于维数与基这两个概念是有所接触。经过上面这些概念的引入,学生就会对线性子空间的维数与基有一个初步的认识,在上课的过程中,教师应该结合相关的具体例子,使得学生加深对线性子空间的维数与基的理解。

有了上面这些知识点的铺垫,利用线性子空间的维数定义向量组的秩。设V是中由向量组生成的线性子空间,其维数为,即,那么定义。如果,那么向量组是线性无关的;如果,那么向量组是线性相关的。矩阵按照列向量分组,很显然可以定义矩阵中列向量组的秩,这称为矩阵的列秩;类似的,矩阵按照行向量分组,很显然可以定义矩阵中行向量组的秩,这称为矩阵的行秩。可以证明矩阵的行秩与列秩相等,因此这个相等的值就统称为矩阵的秩。

当然矩阵秩的定义还有其他方式,例如北京大学版高等代数第三版中,矩阵秩的定义和上面定义方式几乎一致,只是在定义向量组秩的方法有所不同。在同济大学版线性代数中,矩阵秩的定义与矩阵中方块子矩阵的行列式是否为零有关。事实上,可以证明这三种矩阵秩的定义方式是等价的。

1.4行列式的教学思考

同济大学版教材线性代数的第一章讲解的是行列式的理论,首先使用一个综合的式子定义n阶行列式。然后利用此定义证明了n阶行列式的几个性质,利用这几个有用的性质

就可以计算n阶行列式的值。n阶行列式的定义是所有来自不同行不同列元素的代数和。此定义是十分复杂的,因为里面还要涉及到逆序数的概念。学生们对于行列式的这个定义是不容易掌握的,往往只记得n阶行列式的几个性质。因为我们可以反其道而行之,利用几个性质来定义行列式。事实上,行列式可以理解为在n阶方阵全体上的一个函数det,即:det:,此函数只需要满足以下三个性质就完全可以刻画矩阵的行列式。设n阶方阵的列分块为,这里的都是n维的列向量,考虑如下性质的函数:

(1),这就是交换矩阵的任意两列,那么矩阵的行列式的值改变符号。

(2),这就是行列式关于矩阵列是多重线性的。

(3),这里的E是n阶单位矩阵。

以上就是n阶方阵的行列式的一种公理化定义,行列式的其他性质都可以由上面的三个性质推理得到。可以证明满足以上三个性质的函数det的具体表达式就是同济大学版线性代数教科书中行列式的定义。

2结语

本文就线性代数教学谈了点个人的教学体会,目的只有一个,那就是使得学习线性代数这门课的学生能够很好的掌握这门的基本思想与方法。在教学过程中,应该强化矩阵相关理论的教学,因为现代理工科学生常常需要与矩阵打交道。另外,采用先具体后抽象的教学方法可以使得学生逐步提高抽象思维能力;适当运用类比的思想来教学也可以起到较好的效果。在教学过程中,应该突出线性代数基本理论的教学,减少一些复杂运算过程的教学。因为学生只要掌握了一些基本的计算方法,具体实施过程可以交给数值软件MATLAB来处理,这样可以让学生从繁杂的计算过程中解脱出来,以免学生产生讨厌学习这门课的想法。

参考文献

[1] 同济大学数学系.线性代数(第六版)[M].高等教育出版社,2013.