控制系统仿真课程时域离散化模型推导中的教学探讨

王晓玲 肖敏

摘 要：时域离散相似算法是连续系统仿真的常用方法，该算法具有计算量小、稳定性好、允许采样较大的步长等优点，因而是线性时不变系统中广泛应用的一种仿真算法。教材中给出的时域离散化模型的推导是基于拉普拉斯变换和拉普拉斯反变换的，学生理解起来相对困难。针对这一教学问题，文章将常数变易法引入时域离散化模型的推导中来，辅助时域离散化模型推导的教学，从而提高教学效率和教学质量。

关键词：控制系统仿真;线性时不变系统;时域离散相似算法;教学探讨

中图分类号：G64          文献标识码：A          文章编号：1673-9132（2020）27-0007-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2020.27.003

MATLAB与控制系统仿真是自动化专业的一门专业选修课程，该课程具有较强的实践性，并以自动控制原理或自动控制基础为学习基础。该课程是利用MATLAB和Simulink软件（以下统称为MATLAB软件）实现对控制系统相关性能的分析（比如系统的稳定性），促进学生对自动控制原理或自动控制基础等相关课程知识点的进一步理解，为后期相关的课程设计、毕业设计、竞赛等打下基础。

生物医学工程专业是一门工科专业。对于该专业的学生来说，MATLAB与控制系统仿真课程的开设不仅是为了进一步提高学生对自动控制原理或自动控制基础中所学知识的进一步理解，同时也为该专业学生的后期学习打下坚实的基础。随着科技的发展，外界对生物医学工程专业学生的MATLAB软件精通程度的要求也越来越高。这是因为越来越多的生物信息数据的分析等工作需要用到MATLAB软件，而且MATLAB软件中也增加了生物信息工具箱，这也从侧面突出了MATLAB软件对该专业学生的重要性。因此，MATLAB与控制系统仿真课程在生物医学工程专业学生的学习中发挥着承前启后、承上启下的作用。

在自动控制理论中，我们用数学表达式来描述系统中各个变量之间的关系，该数学表达式被称为这个系统的数学模型。一般地，时域中的系统用微分方程来描述，而复域中的系统则用传递函数来描述。控制系统仿真主要是研究怎样将常微分方程（组）描述的系统连续系统离散化为与之等价的离散的差分方程（组），从而可以通过对该差分方程的迭代求出系统的解析解。换句话说，控制系统仿真的主要目的是找出与原来的微分方程（组）的解析解等价的数值解。教材[1]（见参考文献，下同）主要介绍时域连续时不变系统的数字仿真算法中的相关概念、基本原理、常用公式等等，其中数值积分算法和离散相似算法在连续时不变系统的数字仿真中的应用是教学重点。本课程教学内容虽然可以根据开设专业的不同而进行相应的取舍，但是连续系统数字仿真的数值积分法和离散相似算法这两个核心内容是不可舍掉的。其中，时域离散相似算法是MATLAB与控制系统仿真教学中的主要内容之一，其应用范围广，并且实现起来很便利。但是，教材中关于时域离散模型的推导首先是对系统模型进行拉普拉斯变换，然后再对其进行拉普拉斯反变换而进行的。这样的推导过程复杂、容易出错。尤其对于非自动化专业的学生和控制理论基础不扎实的学生来说，基于拉普拉斯变换和拉普拉斯反变换的推导就更难理解消化了，也容易出错，教学效果往往不理想。相对于自动化专业的学生，生物医学工程专业的学生的控制理论相关的基础比较薄弱，因此，拉普拉斯变换和拉普拉斯反变换学习对他们而言并非易事，而且在处理拉普拉斯变换和拉普拉斯反变换的过程中，经常还要查表才可以得到。教师应引入常数变易法來辅助时域离散化模型推导的教学工作，使理论教学过程更加具体、更加直观，进而促进学生对这一教学内容的理解，从而提高学生的听课积极性，提高教学质量。

一、时域离散化相似算法

根据教材[1，2]，线性时不变的连续系统的离散化是将虚拟的采样开关分别加到该系统的输入端和输出端，使得输入信号和输出信号都被离散化，从而得到一个离散化的模型。保持器在这一离散化过程中发挥着重要的作用，其作用主要是为了复现原来的输入信号。然而，在实际的应用中，各种保持器不可能完全不失真地复现原来的输入信号。因此，我们只能说连续系统经过离散化后得到的离散化模型是原模型的“近似”模型，并且原模型与离散化模型之间的“近似性”与保持器的特点和采样周期有关。时域上的线性时不变的连续系统的离散相似算法就是找出一个合适的采样周期，使得离散化模型与原连续模型等价。

拉普拉斯变换是工程数学中非常常见的一种积分变换，该方法是求解高阶常微分方程的常见的、重要的方法。教材[1，2]中，对时域离散化模型的推导主要分两步走：第一步，对原来的时域连续时不变的系统作拉普拉斯变换，将实变量函数转变为复数域中的复变量函数，然后再对所得到的复变量函数作相应的运算，得到一个最终的复变量函数。第二步，对最终所得到的复变量函数作拉普拉斯反变换，将复数域中的复变量函数结果转变为实数域上的实变量函数。正如教材[1]中所示，对线性时不变系统作拉普拉斯变换和拉普拉斯反变换，从而得到系统的解析解。

根据时域离散相似算法的原理，我们将在所得到的解析解上引入保持器来离散化上面所得到的解析解。根据教材[1]，此处我们也可以引入零阶保持器或者三角形保持器，将保持器代入系统的解析解，从而得到了系统的时域离散化模型。在所得离散化模型中，当采样周期确定了，系统就可以通过离散迭代求得系统的数值解。这种迭代也突出了离散相似算法的优越性，即计算量小和允许采样大步长。

虽然离散相似算法有着以上所述的显著优点，但是在教学过程中，有相当多的学生反映离散化模型的推导比较抽象，难以掌握。根据调查分析，出现这一教学情况的原因是学生对拉普拉斯变换和拉普拉斯反变换不熟悉，掌握得不够牢固，尤其是对于非自动化专业的工科学生，如生物医学工程专业的学生。考虑到这一教学现象，可将常数变易法引入时域离散化模型的推导中，来辅助学生理解时域离散化模型的推导过程，进一步理解时域离散模型的意义。

二、常数变易法引入

常数变易法是求解非齐次微分方程的常用方法[3]，使用该方法求解非齐次微分方程特解的基本思路主要分三步：第一步，去掉非齐次微分方程中的非齐次项，得到相应的齐次微分方程，然后对该齐次微分方程进行求解，得出其通解。第二步，将所得通解中的待定常数变易为自变量的待定函数。第三步是对第二步中常数变易后的通解进行求导，根据初始状态值求得原来的非齐次微分方程的特解。常数变易法的核心主要是体现在第二步，即对将齐次微分方程中的待定常数“变易”为含自变量的待定函数。

时域线性时不变系统可以看作一个非齐次线性方程，其中控制输入项的存在决定着它的“非齐次性”。常数变易法在时域离散化模型的推导中的具体步骤如下。

步骤一：将时域线性时不变系统的控制输入项省略掉，仅对时域线性时不变的自治系统求解。因为去掉控制输入项的时域线性时不变的自治系统是一个齐次线性方程，它的通解的求取很好处理。

步骤二：将步骤一中所得的自治系统的通解中的待定常数“变易”为包含自变量的待定函数。注意，在时域连续时间的线性时不变系统中，自变量是时间。因此，此处的含自变量的待定函数中的自变量是时间。

步骤三：将步骤二中变易后的通解代入原来具有控制输入项的非齐次方程中，并根据初始状态值即可求得原系统的特解。

通过使用常数变易法，我们得到了时域线性时不变系统的解析解。然后再借助保持器，对所得解析解离散化即可得到系统的时域离散化模型。可见，应用常数变易法求解时域线性时不变系统的解析解不涉及拉普拉斯变换和拉普拉斯反变换，求解过程更加直观。

三、常数变易法在时域离散化相似算法教学中的应用

在教学过程中，我们并不是直接讲授应用常数变易法来推导时域离散相似算法公式。常数变易法只是作为时域离散化模型推导这一知识点的教学辅助，并不是完全取代教材中教学内容。在具体的教学过程中，首先，教师讲授怎样通过拉普拉斯变换和拉普拉斯反变换得到教材中的离散相似算法，突出拉普拉斯变换和拉普拉斯反变换的作用。然后，再讲授常数变易法求解时域线性时不变系统的解析解。常数变易法的引入不仅具体化了模型的推导过程，而且也为时域离散化模型的获得提供了严格的数学证明。该方法与教材中提供的基于拉普拉斯变换和拉普拉斯反变换的证明方法的结合与对比，促进了学生对时域线性时不变连续系统的离散化模型推导这一知识点的理解，进而提高教學质量。

除此之外，在教学实践中，为了突出常数变易法的作用并促使学生对该方法的掌握，在实验课中，在学生完成了实验内容之后，教师会建议学生将离散仿真算法所得的数值解与系统的解析解作一个对比。这样做的原因之一是为了验证离散算法与原系统的“等价性”，原因之二是让学生事先利用常数变易法求出系统的解析解。这样做可以加深学生对问题的思考，提高实验课的教学效果。

四、结语

在MATLAB与控制系统仿真课程的教学中引入常数变易法这一数学方法来辅助时域离散化模型的推导的教学，改变了原有的完全按照教材授课的模式，实现了数学基础知识与控制理论的有机结合，突出了高等数学知识在工科专业课中的重要作用。利用常数变易法来推导时域离散化模型，可以加深学生对教材中的推导过程的理解，也更容易调动学生听课的积极性，从而提高课堂听课效率，改善教学效果。

参考文献：

[1]蒋珉，柴干，王宏华，刘国海.控制系统计算机仿真（第2版）[M].北京：电子工业出版社，2012.

[2]王正林，等.MATLAB/Simulink与控制系统仿真（第3版）[M].北京：电子工业出版社，2012.

[3]王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松.常微分方程（第3版）[M].北京：高等教育出版社，2006.

作者简介：王晓玲（1987.12— ），女，汉族，安徽安庆人，讲师，研究方向：网络化系统的分析与控制。

肖敏（1977.3— ），男，汉族，江西萍乡人，教授，研究方向：非线性系统动力学分析及优化控制。