MPCK视角下的“实际问题与一元一次方程(1)”教学设计*

广东省广州市江南外国语学校(510240) 孙莉娟

1 MPCK 的简介

Shulman 最早提出PCK 的概念[1],即学科内容“教学化”的知识.此概念引入国内后,不少学者对其结构特征作了深入探讨[2][3].在PCK 的基础上,黄毅英等结合数学学科的特点,提出MPCK(数学教学内容知识)理论[4][5][6],按照鲍银霞的研究,也可将MPCK 理解为“关于数学内容‘教学化’的知识”[7],是MK(数学学科知识)、PK(一般教学法知识)、CK(关于学生知识)的融合.

目前课堂教学中,有的教师侧重纯粹的数学教学内容,而有的教师却侧重于一般教学法的运用.鉴于这些情况,黄毅英、许世红提出数学教师在教学中必须具备丰富的数学学科知识并能灵活运用教学法知识促进学生数学知识的学习[4].教师的MPCK 对数学的教与学起着举足轻重的作用[7],教师丰富的MPCK 能对学生的数学学习观念和数学学习中存在的疑点进行预估.课堂不仅是教师的MPCK 对学生学习产生影响的桥梁,也是教师MPCK 发展的重要阵地.教师在课堂上针对不同的教学内容以及教学对象,在组织教学时对教学方式进行调整,更好地呈现数学知识.课例是优化教师MPCK 的重要途径,在MPCK 的视角下进行课例的探究能够更清晰地看到MK、PK、CK 之间的促进关系,也在展现数学教师专业性的同时,突出数学教师的教育专业性.

2 用MPCK 视角分析“实际问题与一元一次方程”教学设计

本文以“实际问题与一元一次方程”为例,探索MPCK在课堂中的运用.主要从课程学习内容和数学思想方法的知识、教师教学的目标知识和教育理念、教师教学策略和方法的知识、学生对课堂理解和掌握的知识、学生心理发展和思维发展、学生学习的方法和能力以及运用教育技术的知识等维度,对教学设计进行评析.

本节课选自人教版数学七年级上册第三章“一元一次方程”的“3.4 实际问题与一元一次方程”第1 课时[8],主要学习内容是调配问题和配套问题.本节课是在一元一次方程的概念、解法基础上,要求学生在调配和配套问题中,找出相等关系,以方程作为工具去解决问题.在此之前,学生已经学习了代数式的运算知识,经历了从算式到方程的学习过程,能在简单的实际问题中抽象出数学问题,利用一元一次方程解决问题,初步形成了数学建模的意识.而笔者任教班级的成绩水平属于中上层次,总体素质较好,大部分学生已经掌握了前面所学的一元一次方程的解法等知识,且能灵活运用,并能列方程表示简单的等量关系.

从教材内容以及任教学生的情况看,本节课的主要内容是利用一元一次方程解决常见的调配和配套问题,在此过程中积累的数学活动经验,也为今后学习更复杂的二元一次方程组和一元二次方程的应用打下基础.为了优化教学方式,最大限度地高效输出,本节课利用智慧平板辅助教学.

2.1 预习检测,引出调配问题,发现题型特征

活动一:预习检测简单调配问题(借助平板)

预习问题1:在某次赠书活动中,甲班获得赠书45 本,乙班获赠51 本书.要使两个班获赠书本的数量同样多,应如何进行调配?

预习问题2:在某次赠书活动中,甲班获得赠书45 本,乙班获赠51 本书.怎样调配可使甲班与乙班书本数量比为1:2?

设计意图:在小学阶段,学生已经对简单的调配问题有所了解.通过调配问题的预习检测,结合智慧平板自动生成的学情报告,可针对学生出现的共性问题及易错点进行讲解,实施精准化的教学,同时为配套问题作铺垫.

教师利用平板自动生成的数据分析功能,反馈学生的预习检测情况,了解学生对简单调配问题的理解程度.从课堂展示数据上看,95%的学生能够独立列出方程,解决这两个问题.教师针对学生存在的解题失误与书写不规范问题,进行适当的提醒与指导.

活动二:教师提问,引入探究活动1

在预习问题1 和问题2 中,你是如何找出等量关系的?你能运用同样的方法,在探究活动1 中找出关键的语句去求解吗?

探究活动1:某学校图书馆把一批图书分给甲班学生阅读.若每人分3 本,则剩余20 本;若每人分4 本,则还缺25本.这个班的学生有多少人?

教师引导提问:(1)题目中有哪些未知量?有哪些不变的量?两种方法“分给学生的书”与“一批图书”的数量一样多吗?(2)你能在题目中找到“能表示等量关系”的关键词句吗?追问:如果没有,请你思考哪些未知量在两种分法中是不变的?(3)设哪个不变量为未知数,设了未知数后,要抓住哪个不变的未知量列等量关系?

设计意图:教师根据学生预习检测反馈进行点拨,通过提问,引导学生深度阅读题目条件,观察并找出有意义的数据,思考如何找出相等关系,讲解出解决调配问题的关键点,进而引导学生归纳出调配问题的题型特征、解题思路.

解读与分析:

从MK 角度看,预习问题的设置关注了学生原有的知识水平以及本章知识点上下之间的联系.探究活动1 设置的“分配书本”的问题情境,贴近学生的日常生活,同时考虑了问题情境和数学知识的协调,容易引起学生的共鸣,促其第一时间进入思考与学习的状态.教师设置的三个问题以及适时追问,由浅入深地引导学生思考.一元一次方程的等量关系,一般要通过题目中的关键句,寻找出显性或隐性的等量调配、比例关系,这在预习问题中已经有所体现.其后过渡到探究活动1 题目中出现的两个未知量不变的情形,从而对调配问题进行扩展和延伸.

从PK 角度看,结合初中学生的心理特征,于认知障碍处进行适时的点拨与追问.七年级学生心理特征与小学生无明显差异,因此教师创设数学情景,抓住学生好奇心,利用“引导发现法”进行讲授探究活动1.在讲授时引导学生观察、发现调配问题的题型特征.教师利用启发性的问题串,逐渐引导学生找出调配问题中的关键句或者关键未知量,发现等量关系,从而建立数学模型.教师在教学过程中,通过分析课前预测中平板自动生成的反馈数据,发现学生存在问题,并据此调整教学设计,进行精准教学.

从CK 角度看,考虑学生已有的学习经验,在此基础上展开调配问题的探究.学生对基本调配问题掌握较好,在探究活动1 的学习中,学生在教师的正面激励下,认真审读题意,根据教师所提问题逐步分析问题,并和预习问题进行对比,找出探究活动1 和预习问题的异同.在题目中无法找到关键句时,学生从教师的提示性问题以及追问中发现,在两种分书方法中,这批图书的数量不变,由此可找到等量关系.结合题目的信息不断引出新的问题,学生在一连串问题的解决中慢慢找出解题的核心,得到数学方程模型.学生在解决探究活动1 后,经过反思便会发现,在数学学习时“提出问题”的重要性.

2.2 类比调配问题,进行知识迁移,引出配套问题

活动三:通过调配问题的比例类型,引出探究活动2 的配套问题

探究活动2:某车间有22 名工人,每人每天生产1200 个螺钉或2000 个螺母.1 个螺钉需要配2 个螺母,为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套,应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名?

设计意图:在调配问题的比例类型基础上加以变化,引出配套问题.教师以引导式教学,启发学生思维,培养学生类比、迁移的数学思想,培养独立思考能力.

教师指导学生思考:

(1)题目中涉及两个人数:一是生产螺钉的,二是生产螺母的.两个人数满足什么关系?

(2)“1 个螺钉需要配2 个螺母”可改为怎样的数学语言?

(3)为了配套,应从何处找数量之间的关系,它们有何关系?

螺钉的总数量:螺母的总数量=____:____；

螺母的总数量×____=螺钉的总数量×____；

(4)利用表格找出螺钉和螺母的总数量

每人每天生产的数量 人数 总数量螺钉螺母

解读与分析:

从MK 角度看,问题的设置延续了调配问题中的比例类型,体现了类比、迁移的数学思想.同时,新问题又不仅仅是单纯的比例关系,题目需要学生理解给出的情境“1 个螺钉需要配2 个螺母”中隐藏的数学问题,进而发现“螺钉和螺母配套”时,“螺钉的总数量与螺母的总数量比是1:2”.找出这个比例关系后,问题又可转化为调配问题,体现了数学的化归思想.探究活动2 在已知条件的设置上增加了难度,在找出螺钉和螺母的数量关系后,还需要通过人数的分配以及生产螺钉和螺母的效率,去表示螺钉和螺母的总数量.配套问题不仅是调配问题的变式,也是调配问题的深化.解决问题的过程,体现了方程思想和数学建模思想.

从PK 角度看,教师先通过问题让学生找到题目中的已知量和未知量以及他们之间的关系,让学生理清题目中存在的量.教师通过提问(1)直接点出题目中的关键字词与语句“1 个螺钉需要配2 个螺母”,通过填空的方式引导学生去观察、分析,从而找出螺钉和螺母的总数量的比例关系.问题设置不仅使用了“引导式教学”,还使用了“表格分析法”,借助表格,找出配套问题所涉及的各个基本量.把已知量直接填入表格,未知量通过设未知数表示出来,再通过计算找出螺钉和螺母的总数量,把文字语言变成数学语言后,便可列方程解之.教师通过平板展示个别同学的思维过程,并及时批改,及时解决学生思维中存在的问题,促进学生思维的完善.探究活动2 的教学中,教师借助表格渗透建模思想,培养学生的数学建模能力.

从CK 角度看,学生在学习调配问题后,在教师的问题引导下,利用平板的课件功能独立地分析问题、主动探索并且发现配套问题和调配问题的异同.学生能够利用教师设置的填空发现总数量的比例关系,并且转化为调配的比例问题,进行了把配套问题转化为调配问题的过程,增强了对问题的探究意识.

2.3 分层设置习题,学生自主练习,巩固提高

活动四:设置调配问题和配套问题以及变式题,通过小组的交流讨论,学生运用比例方法巩固知识并解决问题.

练习1:有A、B 两个小组的人员合作种树,A 组25 人负责挖坑,B 组20 人负责运树苗.A、B 两组总人数不变,要使A 组人数是B 组人数的两倍,要从B 组调配多少人到A 组?

设需从B 组调x人到A 组,请根据题意列出方程____.

练习2:某郊区的厨具工厂有44 名员工,每人每天可生产12 个碗或20 只筷子.一个碗配2 只筷子,如何安排人员才能使碗筷配套?

变式:某一款书柜由一个柜架和三个抽屉组成,1 立方米木材可以做25 个柜架或150 个抽屉,现有6 立方米木材,怎样分配木材可做成一批同款的书柜?

解读与分析:

从MK 角度看,三道练习的情境都源于生活,关注了个体的差异,进行了分层的设置,更利于学生在不同程度上理解配套问题.练习1 和2 的设置仿照了两个探究活动的方式进行设置,利于全班学生知识的巩固.而变式题提升了问题的难度,更能训练学生的思维能力,提高学生探索的积极性.从PK 角度看,教师利用“讨论分析法”,让学生合作思考,在小组讨论分析配套问题时,教师鼓励学生仿照探究活动2 的方法,以提出问题为主线,根据题意,让小组成员互相提问,逐步寻找等量关系.与此同时教师鼓励学生发现解决配套问题的规律和方法:先根据题目信息,将其转化为数学语言,找出关键句的比例关系,再利用“表格分析法”建立合适的等量关系.从CK 角度看,学生主动参与课堂学习,通过小组的合作交流,在思维的碰撞中互相启发、互相补充,寻找未知量建立等量关系.学生在对变式的讨论中,提升解决配套问题的思维能力,加强对配套问题的理解.

2.4 梳理知识,各抒己见,总结归纳

设计意图:学生分组讨论,教师利用平板的快速问答、分组功能,鼓励学生分小组讨论交流、解决问题.

问题1:调配问题和配套问题之间有什么联系?

问题2:可以用哪些方法寻找等量关系?从何处着手建立方程模型?

问题3:学习本节课有什么意义?关于本节课的学习,还有没有疑问?

解读与分析:

从MK 角度看,三个问题紧扣本节内容的重点和难点,教师引导学生从数学和生活角度反思这节课的学习意义,不仅让学生理解了本节课在教材中的地位和作用,也引导学生对这节课内容进行深入的思考.从PK 角度看,教师引导学生分组交流讨论,充分表达自己的见解及对问题的新发现,达到预定效果.从CK 角度看,学生根据教师的问题分享学习这节课的感受,气氛热烈,不仅从数学角度也从自身生活、学习角度畅谈对这节课的理解,也为方程应用的后续学习奠定基础.

3 立足教材,提升教师MPCK 的策略

3.1 吃透教材,揣摩重难点,丰富教师的MK

教材是教师组织教学的根本,也是师生进行知识与情感沟通的桥梁,同时也是发展学生认知的载体.《初中数学课程标准解析与教学指导》指出:课程内容的设置要符合学生的认知规律.备一节课时要仔细钻研教材,对照课标明确教学目标,根据学生的基础、认知起点,确定一节课的重难点;探寻教学内容在课本中的地位和作用,弄清上位知识与下位知识;弄清教学内容的前因后果及来龙去脉、生成过程,要站在学生角度,发掘知识的生长点,促进学生知识的发展.分析任教班级学生的学情,针对性地重构教学设计,保证教学内容的精准讲解;要让学生经历观察、实验、猜想、讨论、验证等过程,积累数学活动经验.

3.2 把握学情,围绕教学目标,选择合适的PK

“教”与“学”是相辅相成的,学生的“学”决定了教师的“教”,教师要把握学情才能有的放矢,制定有效的教学方法和教学活动.合适的PK 对于教师教学的组织、教学内容的呈现起到促进作用,也能帮助学生形成对学习内容的自我认识和理解,进而促其积极思考探究其内涵.如本节课的教学中,教师适时运用平板辅助教学,利用平板的数据分析功能,对照学生出现的共性问题与困惑,进行了精准教学,更好地完成了教学目标.

3.3 践行课改,关注学生发展需求,增强教师的CK

学生是课堂的主体,教师丰富的MK、有效的PK,都是为了发展学生的知识和认知水平.要践行课改,教师需根据教材内容特征,为学生创建符合最近发展区的问题情境.教师关注学生的发展需求,设计新知识的形成和生长过程.在此过程中,不断激励学生学习的热情,并改进教师的教学方法,进而提升教师自身的CK.

教师的MPCK 不断提升,能让教师更新教学观念,更准确地理解并掌握教材的内容并进行深度的解析,挖掘出教材内容的数学思想.在丰富的理论知识支撑下,教师能够结合学生学情,在备课时预设学生学习过程中出现的问题以及存在的困难,探索有效的教学设计和教学方法,这样就可以引导学生进行有效、高效的学习.