坐标法解决向量小题

叶文明 李 阳

(浙江省松阳二中 323406)

一般来说，代数问题较为抽象，若能通过构造将之合理转化为几何问题，利用“数形结合”这一重要思想方法，往往可增强问题的直观性，使解答事半功倍或独具匠心，数学家华罗庚曾经说过：“数离开形少直观，形离开数难入微.”利用数形结合的思想可构通代数、几何之间的关系，实现难题巧解.

解方程组得λ=5,μ=8,∴λ+μ=13,

图2

解得λ=5,μ=8,∴λ+μ=13.

解析本题主要考查平面向量及其运算，基本不等式等知识，意在考查考生分析问题解决问题的能力.

设△ABC外接圆半径为1，由题意知m，n不能同时为正，

∴m+n<1①.

因为∠C=45°，O是△ABC的外心，所以∠AOB=90°.

两边同时平方得1=m2+n2+2mncos∠AOB,

所以m2+n2=1②,

图3

代入x2+y2=2得m2+n2=1.

又y=-m-n>-1,∴m+n<1.

4.(2017绍兴高三质量调测)向量a,b满足|a|=4,b·(a-b)=0，若|λa-b|的最小值为2，则a·b为( ).

A.0 B.4 C.8 D.16

解析本题主要考查平面向量的模，数量积以及二次函数的最值等知识，以平面向量为载体，借助平面向量的模的最值求解，考查考生的坐标求解能力.

所以(a·b-8)2=0，故a·b=8，选C.

事实上，由已知可设a=(4,0)，由b·(a-b)=0得b⊥(a-b).

所以b的终点在如图4以(2,0)为圆心的圆上.令b=(x,y),则x2-4x+y2=0，∴λa-b=(4λ-x,-y).

图4

|λa-b|

化为x2-4x+4=0，得x=2.

所以a·b=(4,0)·(2,y)=8，故选C.

5.(2017届浙江新高考研究联盟考卷)

图5

直线BC：4x+3y-12=0,

直线BI:x+2y-3=0,

直线CI： 3x+y-4=0.

由(x,y)=λ(3,0)+μ(0,4) 得x=3λ,y=4μ.

图6

图7

图8

图9

A -4 B.4 C.-2 D.0

正确答案为C.

图1

图10

图11