考虑枕下胶垫超弹性本构的弹性长枕轨道动力仿真

王启好，蔡小培，常文浩，赵闻强

(北京交通大学土木建筑工程学院，北京，100044)

随着城市轨道交通线网密度的增大，大量线路不可避免地穿过住宅、文教等振动敏感区域。为解决环境振动问题，减振轨道的应用必不可少。弹性长枕轨道作为一种中等减振轨道形式，可提供良好的减振效果[1]。枕下胶垫是影响弹性长枕轨道动力行为和减振效果的关键。对于橡胶本构和轨道动力仿真，国内外学者已进行了大量研究。自20 世纪50年代MOONEY 等[2-3]研究橡胶的弹性大变形特性开始，YEOH[4]比较分析了不同橡胶应变能本构模型的大变形行为；KIM 等[5-6]通过试验和数值仿真比较了不同本构模型的仿真效果，探讨了橡胶有限元分析中的误差；杨晓翔[7]对橡胶材料的有限元计算进行了深入研究。橡胶超弹性本构的应变能方法已十分成熟。基于多体动力学和有限元方法的轨道动力仿真方法也较为完善。侯博文等[8]建立了精细化车辆-道岔动力分析模型，研究了车岔系统动力特性；谭诗宇等[9]通过车辆-有砟轨道-桥梁空间耦合动力学模型，分析了桥上道砟垫的减振效果；马晓川等[10]建立了道岔区车辆-轨道系统耦合振动模型，研究了钢轨轧制不平顺对道岔区垂向轮轨力和轮重减载率的影响；对于橡胶材质的减振垫结构，THOMPSON 等[11-12]考虑了刚度的变化，采用随频率变化的刚度进行模拟。此外，赵才友等[13]对桥上无砟轨道的橡胶减振垫进行了试验研究，定量描述了橡胶垫的减振作用。可见，既有轨道动力分析中对扣件胶垫、枕下胶垫、道砟垫等橡胶材料的仿真多采用等效刚度法，未考虑橡胶材料的超弹性。本文作者考虑枕下胶垫橡胶材料的超弹性，建立车辆-弹性长枕轨道-隧道-土体空间耦合动力学模型，分析列车荷载下轨道及隧道的位移、振动加速度等数据，并与等效刚度仿真结果进行对比，最后从轨道动力响应、振动传递特性及减振效果等方面综合考虑，探讨超弹性本构模型中枕下胶垫的合理绍尔硬度。

1 橡胶超弹性本构模型及其仿真实现

1.1 橡胶超弹性本构模型

橡胶是一种超弹性材料，应力应变关系具有明显的非线性特征[14]，力学性能与金属、混凝土等材料有很大差别。橡胶本构模型的选取是准确模拟橡胶材料力学行为的关键。本文在模拟橡胶超弹性时采用基于应变能函数的唯象模型，以应变不变量表征材料特性。

连续介质力学理论中，超弹性材料的应力可通过对应变能函数求偏导得到。假设橡胶材料为各向同性体，且为不可压缩材料，将应变能密度函数表示成变形张量不变量的函数。应变能密度函数W 由应变偏量能函数f 和体积应变能函数g组成：

式中：I1和I2为Cauchy-Green 变形张量不变量；J为压缩材料系数。

将式(1)泰勒展开可得：

式中：Cij为展开式系数，i，j 分别取0 或1；Di为材料系数；N为多项式阶数，当N=1时，只有线性部分的应变能保留下来，即Mooney-Rivlin 模型。模拟时橡胶材料视为不可压缩，J 取1，忽略体积应变能部分。最终可得不可压缩橡胶材料的Mooney-Rivlin本构模型为

Mooney-Rivlin 模型对不同橡胶材料力学行为的模拟适应性较强，适用于中小变形，可用于弹性长枕轨道中枕下胶垫的模拟。

1.2 橡胶硬度与仿真实现

Mooney-Rivlin 本构模型通过系数C10和C01确定。当橡胶应变在150%以内时，C01和C10与剪切模量G、弹性模量E0有以下关系：

橡胶弹性模量E0与绍尔硬度Hr相关，二者关系可通过试验拟合得到。目前常用的拟合公式有对数和分式[15]形式2种：

图1所示为2种拟合公式下橡胶弹性模量随绍尔硬度的变化曲线，仿真模型中取二者平均值。在有限元模型中将超弹性参数赋予橡胶材料以实现枕下胶垫的超弹性仿真。

图1 绍尔硬度与弹性模量的拟合关系Fig.1 Fitting relationship between Shore hardness and elastic module

2 车辆-弹性长枕轨道-隧道-土体模型

车辆-轨道-隧道-土体空间耦合动力学模型由车辆、轮轨接触、弹性长枕轨道、隧道及土体模型组成，如图2所示。

图2 车辆-轨道-隧道-土体耦合模型Fig.2 Vehicle-track-tunnel-soil model

2.1 车辆及轮轨接触模型

车辆模型基于多体动力学建立，由车体、前后转向架和四轮对组成。车体、转向架、轮对均视为刚体，考虑车体和转向架的沉浮、横移、点头、摇头、侧滚以及车轮的沉浮、横移、摇头、侧滚共计31 个自由度，通过一系二系悬挂连接。车轮半径为0.42 m，轴距为2.5 m，定距为12.6 m，一系悬挂刚度为1.38 kN/mm，阻尼为45 kN·s/m，二系悬挂刚度为0.35 kN/mm，阻尼为50 kN·s/m[16]。

车辆和轨道通过轮轨相互作用耦合，轮轨法向相互作用采用赫兹非线性接触模型，切向相互作用采用非线性摩擦因数模拟[17]。轨道不平顺采用北京地铁15号线实测数据。

2.2 弹性长枕轨道、隧道及土体模型

弹性长枕轨道模型基于有限元建立，如图3所示。钢轨、轨枕、枕下胶垫、道床均采用实体单元模拟，扣件简化为弹簧阻尼单元，考虑纵横垂向刚度和阻尼。扣件间距为0.6 m，垂向刚度为30 kN/mm，纵横向刚度为40 kN/mm，纵横垂向阻尼为50 kN·s/m；轨枕长为2 300 mm，宽为300 mm，高为180 mm；道床下表面为圆弧形，半径为2.45 m，中间排水沟留空。橡胶套靴和枕下胶垫密贴，视为一体的枕下胶垫，厚度取15 mm。

图3 轨道不平顺实测数据及弹性长枕轨道有限元模型Fig.3 Track irregularity measured data and long elastic sleeper track finite element model

道床与隧道、隧道与土体之间视为密贴，不考虑其相对位移。隧道及土体采用实体单元模拟，土体采用Mohr-Coulomb 本构，考虑其摩擦角和黏聚力。模型中隧道埋深为12 m，外径为5.80 m，衬砌厚为0.45 m。土体宽度和深度均取80 m，满足隧道直径的15倍左右和隧道埋深的7倍左右[12]要求。轨道、隧道及土体模型中材料参数见表1。

2.3 枕下胶垫参数取值

采用超弹性本构模拟枕下胶垫，并与等效刚度法进行对比。等效刚度仿真时，枕下胶垫刚度取120 kN/mm[18]。由式(4)，(5)和(6)可知，只需确定橡胶硬度及C01/C10即可确定唯一的Mooney-Rivlin本构模型。超弹性仿真时，为保证橡胶各向刚度与实测值偏差最小，模型中C01/C10取0.05[19]，枕下胶垫硬度参照现场情况取56，同时选取硬度48，52，60 和64 进行参数影响分析。不同绍尔硬度下，枕下胶垫超弹性参数见表2。

表1 有限元模型中轨道及隧道材料参数Table 1 Material parameters of track and tunnel in finite element model

表2 橡胶超弹性参数取值Table 2 Parameters of rubber hyperelasticity

3 超弹性本构模型对比验证

3.1 计算时间分析

在动力学有限元模型仿真中，计算精确度与计算效率相矛盾。若想得到更精确的结果，需划分更细的网格，会导致计算时间倍增；若想提高计算精度同时不影响计算效率，可在本构算法等方面改进。超弹性本构模型使用应变能势的响应曲线来评估材料的力学行为，将单位参考体积储存的应变能定义为该点应变的函数。因此，超弹性本构仿真模型在提高计算精度的同时，仍能保证较高的计算效率。

在相同网格密度、相同分析步长、相同服务器计算能力等条件下，等效刚度法与超弹性本构法耗时基本相同，相差仅2.25%。

3.2 仿真结果对比验证

北京地铁15 号线现场实测与有限元仿真所得轨道各位置位移、加速度对比分别如图4 和图5所示。

图4 仿真与实测轨枕垂向位移对比Fig.4 Comparison of vertical sleeper displacement between simulation and measurement

图5 仿真与实测不同位置加速度对比Fig.5 Comparison of accelerations between simulation and measurement at different locations

从图4可以看出，在2种仿真工况下，轨枕垂向位移均与现场实测相差不大。超弹性仿真比等效刚度仿真的轨枕垂向位移更接近实测位移。这是因为超弹性本构可以模拟枕下胶垫刚度的非线性变化，仿真过程中变形更接近实际情况。

从图5可见：超弹性本构仿真比等效刚度仿真有较大优势，各位置加速度及振动衰减量更接近实测数据。从轨枕到道床，道床到隧道壁，现场实测振动加速度衰减分别为36.980 m/s2和1.620 m/s2，超弹性仿真时分别为39.632 m/s2和1.815 m/s2，等效刚度仿真时分别为29.617 m/s2和1.004 m/s2。无论是轨枕到道床的衰减，还是道床到隧道壁的衰减，超弹性本构仿真均更贴近实测值，说明超弹性本构工况能更真实地模拟枕下胶垫对振动的衰减效果。

4 枕下胶垫合理硬度

弹性长枕轨道通过减小枕下垂向刚度，降低结构的固有频率，使其远离激振频率，减小传递到下部结构的能量。但是枕下垂向刚度过小会降低轨道承载能力，导致轨道垂向位移过大，进而影响轨道寿命和列车运行安全舒适，因此，有必要对枕下胶垫的合理硬度进行探讨。

4.1 轨道及隧道动力响应有效值分析

当枕下胶垫取不同硬度时，轨枕垂向位移、振动加速度及道床、隧道壁振动加速度有效值如图6所示。

图6 动力响应与绍尔硬度的关系Fig.6 Relationship between dynamic response and Shore hardness

由图6 可知：当枕下胶垫硬度为48 时，轨枕垂向位移有效值达到最大，为0.205 mm；在枕下胶垫硬度取64 时，道床和隧道壁振动加速度达到最大，分别为0.653 m/s2和0.173 m/s2；随着枕下胶垫硬度的增加，轨枕垂向位移有效值逐渐减小，道床和隧道壁加速度有效值逐渐增加，且在硬度48～64范围内呈线性变化；轨枕振动加速度有效值先增加后保持平稳。

4.2 轨道及隧道加速度功率谱密度分析

为揭示振动在轨枕、道床、隧道壁间的传递规律，进一步分析了轨道及隧道的加速度功率谱密度，为在同一坐标系中比较，将道床功率谱放大100 倍，隧道壁功率谱放大1 000 倍。图7 所示为枕下胶垫硬度56 时轨枕、道床、隧道壁的加速度功率谱密度，图8～10 所示为不同枕下胶垫硬度下轨枕、隧道壁的加速度功率谱密度及振级。

图7 不同位置加速度功率谱密度对比Fig.7 Comparison of acceleration power spectral density(PSD)for different locations

由图7 可以看出，从轨枕到道床再到隧道壁，440 Hz 频段加速度高频分量衰减至0；75 Hz 以及145 Hz 频段分量衰减相对较慢；从轨枕到道床再到隧道壁，75 Hz 频段振动占比逐渐增大；215 Hz频段振动一直占主导地位。75 Hz 处振动衰减最慢，可以预见振动继续在土层中传播时，该频率振动将逐渐占据主导地位。

图8所示为不同枕下胶垫硬度下轨枕加速度功率谱密度。从图8 可以看出，峰值大多出现在215 Hz 和440 Hz 频段；在枕下胶垫硬度为64 时，还会在138 Hz 处出现较大峰值；在215 Hz 频段，随着枕下胶垫硬度的增大，轨枕加速度功率谱密度峰值先增大后减小；在440 Hz 频段，随着枕下胶垫硬度增大，轨枕加速度功率谱密度峰值减小，表明轨枕振动与轨道结构的模态振型有关[20]；当枕下胶垫硬度为64 时，易引起轨枕138 Hz 频段的共振；当枕下胶垫硬度为56～60 时，易引起轨枕215 Hz频段的共振。

图9所示为不同枕下胶垫硬度下隧道壁加速度功率谱密度。从图9 可知：频率为75 Hz 和225 Hz处均出现明显峰值。频率225 Hz 峰值随着枕下胶垫硬度的增大而增大，说明较硬的枕下胶垫会放大隧道壁的高频振动；在75 Hz频段，峰值随着枕下胶垫硬度的减小而增大，说明当枕下胶垫硬度较小时，低频振动会放大；随着枕下胶垫硬度的增大，在145 Hz 频段，加速度功率谱密度先增大后减小。

图8 不同枕下胶垫硬度下轨枕加速度功率谱密度对比Fig.8 Comparison of sleeper acceleration PSD under different hardness of elastic cushion

图9 不同枕下胶垫硬度下隧道壁加速度功率谱密度对比Fig.9 Comparison of tunnel wall acceleration PSD under different hardness of elastic cushion

图10 所示为不同枕下胶垫硬度下轨枕及隧道壁的加速度级。从图10 可知：当枕下胶垫硬度从48增大到56时，轨枕加速度级增大3.01 dB，之后保持平稳；当枕下胶垫硬度大于56 时，易引起轨枕共振，因此，设计中应避开共振频率，枕下胶垫硬度小于56。隧道壁加速度级与枕下胶垫硬度呈线性关系，枕下胶垫硬度每增加4，隧道壁加速度级增大约1 dB。

图10 不同枕下胶垫硬度下轨枕及隧道壁加速度级Fig.10 Acceleration level of sleeper and tunnel wall under different hardness of elastic cushion

综上所述，为保证较小的轨枕位移和加速度、较好的减振效果，同时考虑振动的传播特性，建议枕下胶垫绍尔硬度取52。

5 结论

1)与现有的等效刚度仿真相比，超弹性本构仿真能更准确地模拟枕下胶垫的力学行为，得到的位移、加速度等更贴近轨道各位置实测结果。

2)随枕下胶垫硬度增加，轨枕垂向位移有效值线性减小，道床和隧道壁加速度有效值线性增加；在枕下胶垫硬度为48～56时，轨枕加速度增加迅速，硬度达到56以后保持平稳。

3) 轨道及隧道加速度功率谱密度主频均在225 Hz频段，75 Hz频段振动衰减最慢；枕下胶垫绍尔硬度为48时会放大隧道壁75 Hz频段振动，硬度为64时会放大隧道壁225 Hz频段振动。

4)为达到较好的减振效果，同时保证轨道动力响应和隧道壁低频振动分量不过大，建议弹性长枕轨道枕下胶垫绍尔硬度取为52。