在一般加权Bergman空间上的广义Volterra型算子①

罗庆仙

(广东茂名幼儿师范专科学校 理学院, 广东 茂名 525200)

1 相关研究

令Δ是复平面上的单位开圆盘，在Δ上的所有全纯函数组成的集合记为H(Δ).

当φ∈H(Δ)且φ(Δ)⊂Δ时，复合算子Cφ的定义为

(Cφf)(z)=f(φ(z))，z∈Δ，f∈H(Δ)，

而加权复合算子Wφ，φ的定义为

(Wφ，φf)(z)=φ(z)f(φ(z))，z∈Δ，f∈H(Δ).

对于任意g∈H(Δ)，定义Volterra型算子Tg如下：

与Tg密切相关的另一个算子，其定义为

很多学者对Volterra型算子的研究充满了兴趣。近几年来，林庆泽研究了加权shift算子加上Volterra型算子在Bergman空间上的不变子空间及约化子空间[2]，并且给出了Volterra型算子在对数加权Banach空间之间的有界性和紧性的充要条件[3]。在参考文献[4]、[5]中，Lin等人分别刻画几个具体空间上Volterra型算子的有界性和紧性等。

广义Volterra型算子定义为下列四种形式：

广义Volterra型算子由Li等人首次提出，并且他们完善了该算子在一些具体空间上的性质[6-9]。自从该算子被提出来以后，很多学者不断去完善其性质，其中Ueki在参考文献[10]中研究了从加权Bergman空间到β-Zygmund空间的广义Volterra型算子的有界性和紧性，并且还给出其本性范数。而Mahyar和Rezaei则刻画了在QK空间上的广义Volterra型算子的有界性和紧性[11]，更多的，Li和Ma[12]给出了广义Volterra型算子在Zygmund型空间到QK空间上的有界性和紧性的刻画。Sanatpour[13]中讨论了在Zygmund型空间上的广义Volterra型算子的本性范数，并且还推广到Bloch型空间等等。

不过到目前为止，作用在一般加权Bergman空间上的广义Volterra算子的有界性和紧性尚未刻画，从而，本文将给出其有界性和紧性的刻画。

2 定理的引入及其证明

接下来下文中的引理1和引理2分别给出了加权复合算子在一般的Bergman空间之间的有界性和紧性的刻画。

当ω是任意给定的正则权，p，γ>0是任意给定的实数时，对于z∈Δ，令

引理2设ω，μ是正则权，并且1

(3)对于足够大的γ′>0，有

为了刻画广义Volterra型算子在广义加权Bergman空间上的有界性和紧性，通过等价范数可以得到其有界性和紧性的充要条件。

定理1设ω，μ是正则权，g，φ∈H(Δ)，φ(Δ)⊆Δ，(goφ)′⊆Δ，则：

(2)当1

③对于足够大的γ>0，则有

下面这个定理是刻画算子Tg，φ在Bergman空间之间的有界性和紧性，其证明和定理1是类似的。

定理2 设ω，μ是正则权，g，φ∈H(Δ)，φ(Δ)⊆Δ，则：

(2)当1

③对于足够大的γ>0，有

定理3 设ω，μ是正则权，g，φ∈H(Δ)，φ(Δ)⊆Δ，则：

(2)当1

③对于足够大的γ>0，有

定理4设ω，μ是正则权，g，φ∈H(Δ)，φ(Δ)⊆Δ则：

(2)当1

③对于足够大的γ>0，有

3 结语

本文利用一般加权Bergman空间上的加权复合算子的有界性、紧性和等价范数得到了一般加权Bergman空间之间广义Volterra型算子的有界性和紧性。这种证明方法简捷高效，为研究其它函数空间上的算子理论提供了一种新的思路。