概念自然生成，定理探究论证

薛琼

[摘  要] “三角形的中位线”是初中几何的重要内容，其中的概念与性质定理更是后续几何问题突破的关键. 在教学中，需要基于其核心知识展开教学探究，将知识与思想方法进行整合，使学生体验探究过程，完成知识内化、吸收的同时获得思维的发展. 文章对其展开教学探讨，提出了相应的教学建议.

[关键词] 中位线;概念;生成;性质;探究;论证

“三角形的中位线”是苏教版八年级下册的教学内容，教材将其编排在平行线、全等三角形、平行四边形之后，是后续中点四边形及相似三角形探究学习的基础. 教学中，需要使学生理解中位线的概念，掌握中位线的性质及定理，同时激发学生思考，提升学生的探究能力. 因此，在教学伊始，需要结合教学重点深入探讨教学方式，合理设置教学环节，设计探究过程，确保课堂教学高效推进，下面对其展开探讨.

概念引出，自然生成

新课程标准提出，课堂教学应注重知识的生成过程，因此，教学三角形中位线的概念时，应重视其背景，合理创设情境引入环节，拉近数学新知与生活实际的距离，促进课堂预设的自然达成. 创设情境引入时需要从两个角度进行：一是联系旧知，完成知识的过渡;二是设置活动，使学生深刻认识中位线.

“中位线”是三角形中重要的线段，教学时可以从学生已有的知识经验入手，引出中位线，故教学中可提出如下问题：

（1）三角形中存在哪些重要的线段？这些线段有哪些特殊之处？

（2）这些线段有哪些应用价值？

通过设问进行引导，学生可以联系知识经验回顾高、中线、角平分线、垂线等三角形中的特殊线段，深刻认识特殊线段的特点.

在此基础上，可设计动手活动来引出中位线：取△ABC中任意两边的中点，然后连接成一条线段，同学之间互动交流，观察该线段，总结该线段具有哪些特点. 任取两边的中点可以获得三角形的中位线，分析线段绘制的过程很容易获得中位线的特性. 教学中，只需要对其绘制过程进行设定，给出中位线的定义，同时指出中位线的特点：三角形的中位线的端点为三角形中两条边的中点.

为强化认识，还可以采用对比探究的方式——在同一三角形中给出具有同一端点的中位线和中线，让学生直观认识两者的差异，深刻理解中位线的概念，把握其特点.

如图1，在△ABC中，点D和点E分别是线段AB和AC的中点，连接DE，DC，回答问题（选填“中线”或“中位线”）：

（1）线段CD是△ABC的_________;

（2）线段DE是△ABC的_________.

同时可引导学生填写表1.

完成概念认知后还需要引导学生思考三角形的中位线的条数，思考在同一个三角形中可以绘制几条中位线. 教学中，可以引导学生类比三角形的中线，根据中位线形成的过程来确定一个三角形的中位线有3条，同时让学生互相观察、对比所作的中位线，确定该结论（如图2）.

中位线的概念是该部分教学的核心，采用联系旧知、绘图探究的方式可使学生体验中位线形成的过程，从而把握其定义的内涵及特点. 而探究辨析的方式则可以使学生区分中线与中位线，正确认识三角形的中位线，其中渗透的对比思想和类比思想对学生的思想提升极为有利.

活动探究，性质提取

中位线的性质探究是中位线内容的进一步学习，是在中位线概念基础上的探究推进，同时也是对三角形中位线的深入认识. 该过程需要从“概念的直观认识”过渡到“性质的数形认识”，其中涉及中位线的位置关系和数量关系，探究内容具有一定的难度，可采用活动探究、问题引领的方式，即引导学生在活动中发现三角形中位线的性质，在思考中提取其性质.

三角形的中位线性质有两方面内容，包括位置关系——与第三条边平行，数量关系——长度是第三条边的一半. 探究性质时需要对其加以区分，分别设置探究活动，建议采用“观察—猜想—验证”的思路，同时结合具体的模型进行直观量化分析.

探究性质过程中，可先引导学生将三角形硬纸板沿着其中一条中位线剪成两部分，按照图3的方式进行图形拼接，然后引导学生观察四边形BCFD是什么图形. 通过直观的拼接，学生可以初步得出该四边形为平行四边形，根据平行四边形成立的条件可以初步做出如下猜想：三角形的中位线平行于第三条边，且长度是第三条边的一半.

猜想研究阶段，可同样结合对应的探究活动. 以长度关系为例，可以借助直尺，通过精准的测量来论证，活动如下：对于图4中的△ABC，ED是三角形的中位线，请大家拿出直尺分别测量线段ED和BC的长度，分析这两条线段之间的长度关系. 它们是否相等？若不相等，是否存在特殊的数量关系？

对于平行关系的验证，同样可以采用度量的方式，只需要借助矩形的性质即可. 可设置如下活动：（在图4的基础上）在△ABC中，分别过点E和点D作底边BC的垂线，垂足分别为E′和D′，如图5. 然后用直尺分别测量线段EE′和DD′的长度，分析這两条线段之间的长度关系，思考四边形EE′D′D的形状，可以得出ED与BC有怎样的位置关系？

进行教学引导时需要具有一定的逻辑性，可按照如下思路进行：EE′=DD′，EE′∥DD′→四边形EE′D′D为平行四边形→ED∥BC，即结合作图得出EE′∥DD′，联合度量获得的EE′=DD′来确定四边形EE′D′D为平行四边形，进而确定ED∥BC，从而初步得出三角形的中位线与第三条边平行.

上述探究三角形中位线的过程采用了“直观猜想—度量验证”的方式，通过拼图对中位线的两个性质做出猜想，然后结合度量来完成初步验证，学生可以充分参与探究活动. 在活动中，学生的感性认知和理性思维均得到了极大的锻炼，其中领悟知识是探究过程追求的重点，传达的方法是重要技能，而发展学生的数学思维是核心.

模型构建，论证定理

上述对三角形的中位线性质进行了初步猜想与验证，但需要指出的是，验证活动的过程采用的是直尺度量的方式，显然度量所得到的数据误差较大，所以其可以作为猜想性质的依据，但不能作为生成性质定理的论据. 数学是一门逻辑性强、科学严谨的学科，在验证、归纳定理阶段需要按照数学的证明方法，由数学的定理结论进行演绎推理.

论证三角形的中位线的性质定理实则就是证明所设两条线段之间的数量关系和位置关系，其中的数量问题需要分析其中的倍数，位置问题则是证明其中的平行关系. 从不同的视角来分析可以获得不同的证明思路，其中添加辅助线、构建模型是论证的关键. 教学中可以按照“思路分析—辅助线添加—过程论证”的思路，下面提出两种论证思路（下面的论证思路中，均有E，O分别为AB，AC的中点）.

1. 论证视角——截长补短

该视角需要通过截取的方式来完成转化，实则为数学的全等转化. 教学中需要指出该视角的内涵所在，然后在此基础上展开思路构建.

模型构建：如图6，过点C作CF∥AB，与EO的延长线交于点F，从而可得△COF.

论证思路：模型构建的核心是CF∥AB，则平行性质→∠AEO=∠CFO（两直线平行，内错角相等），结合AO=CO（已知条件）和∠AOE=∠COF（对顶角相等）→△AOE≌△COF→AE=CF（全等三角形的性质）→CF=BE（等长转化），综合CF∥BE→四边形BCFE为平行四边形→EO∥BC.

另外，△AOE≌△COF→EO=OF（全等三角形的性质）→2EO=BC（等长转化）→EO=■BC.

2. 论证视角——几何旋转

该视角需要对其中的三角形进行旋转，利用旋转的特性来完成论证，实则还是数学的全等转化. 教学中应该详细描述旋转过程.

模型构建：如图7，将△AOE以点O为旋转中心，绕点O顺时针旋转180°后得到△COF.

论证思路：模型的核心是△AOE≌△COF（旋轉特性），利用其中的全等特性显然可以确定EO=■EF，同时可推知四边形BCFE为平行四边形，进而获得EO∥BC，EO=■EF=■BC.

上述呈现了三角形中位线性质定理的两种论证视角，但求证的核心均为三角形全等的性质定理. 教学中，教师有必要引导学生对不同的论证思路加以辨析，明晰论证的核心定理，掌握几何证明的过程，即添加辅助线构建模型，利用几何定理展开关系推导. 同时定理论证的过程中渗透了数学的模型思想、转化思想，以证明、推理为依托展开思想方法教学，有助于提升学生的数学思想，这是数学教学的重要任务之一.

总之，对中位线的概念、性质定理和论证过程加以探究有着重要的教学意义，在探究教学中，学生可以体验知识建构的过程，能唤醒学生的数学思维，能使学生掌握数学探究的方法与手段，同时获得数学思想的提升，知识学习和思维发展均推向了顶峰.