一题多解 拓展思维

陈俐青

[摘  要] 一题多解的教学方法，能反映学生对数学知识掌握的程度，又能考查学生的思维灵活度. 纵观初中数学中考试题，有不少是一题多解的题型. 因此，教师在日常课堂教学中，应关注习题或例题的一题多解教学，通过问题情境的设置或题型的转换，整合交汇各个知识点，让题目充满灵动与智慧，以激发学生自主学习的欲望，从而拓展思维能力.

[关键词] 一题多解;思维;证明

数学学习固然离不开解决问题，而解决问题的关键在于紧扣问题的核心，捕捉到问题中有用的数学信息，结合学生已有的认知结构进行分析，获得解题方法，这是优化学生认知结构，提高解题能力，培养数学思维的过程. 特别是一些看似复杂的问题，却有多种解决方法，教师要引导学生发现问题的特征，寻找解题的突破口，根据数学模型，逐层深入、循序渐进地进行解题，以培养学生的思维能力. 本文笔者结合一道一题多解的证明案例，进行拓展分析，谈谈如何在一道题中巧妙地运用数学思想，激发学生学习的内驱力，以提升其思维能力.

问题  如图1，点O在线段AB上，AO=2，OB=1，OC为射线，且∠BOC=60°，动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动，若运动时间是t秒.

（1）当t=■秒时，则OP=________，S■=________;

（2）当△ABP是直角三角形时，求t的值;

（3）如图2，当AP=AB时，过点A作AQ∥BP，并使得∠QOP=∠B，求证：AQ·BP=3.

分析：本题题干简洁明了，结构合理，图像清楚，内涵较丰富，问题的梯度也一目了然，是一道集知识与思想于一体的运动综合题.

第（1）问的起点比较低，当t=■秒时，则OP=1，S■=■.

第（2）问把方程思想和分类讨论思想融于一体，当△ABP为直角三角形的时候，①因为∠A<∠BOC=60°，所以∠A不会是直角;②若∠ABP=90°，则t=■=■=1;③若∠APB=90°，容易求得t=■.

第（3）问的解题入口比较宽，解题方法也有多种，但这一问对学生思维的广度和深度提出了较高的要求，也是压轴题区分学生水平能力的典型表现. 在解题时，可捕捉结论中的數学信息，以确定思维的方向，将问题中的数量关系转化为几何的关系，实现条件与结论的互相交流.

隐含信息：待证明的结论AQ·BP=3可转化成比例式■=■，通过包含线段AQ与长度为3的线段的三角形，与包含线段BP与长度为1的线段的三角形相似而对应的线段成比例来获得隐藏信息.

证法1  连接PQ，设AP与OQ相交与点F（如图3）.

因为AQ∥BP，所以∠QAP=∠APB，因为AP=AB，所以∠APB=∠B，所以∠QAP=∠B. 又∠QOP=∠B，所以∠QAP=∠QOP，因为∠QFA=∠PFO，所以△QFA∽△PFO，故■=■，即■=■. 又∠PFQ=∠OFA，所以△PFQ∽△OFA，∠3=∠1. 因为∠AOC=∠2+∠B=∠1+∠QOP，又∠B=∠QOP，所以∠1=∠2，故∠2=∠3，可得△APQ∽△BPO，■=■，所以AQ·BP=AP·BO=3×1=3.

证法2  连接PQ（如图4）.

同上可证∠QAP=∠QOP. 所以Q，A，O，P四点同圆，有∠3=∠1. 同上可证∠2=∠3，所以△APQ∽△BPO，■=■，所以AQ·BP=AP·BO=3×1=3.

隐含信息：结论AQ·BP=3还可转化成比例式■=■，即可通过含有线段AQ与长度为2的线段的三角形和含有线段BP与长度为■的线段的三角形相似的对应线段成比例获得.

证法3  过点B作BE∥AP交PO的延长线于点E（如图5）.

易知有△APO∽△BEO，所以■=■=■，因为AP=AB=3，所以BE=■. 同上可证∠AOQ=∠OPB，又∠QAO+∠OBP=180°，∠EBP+∠APB=180°，∠OBP=∠APB，所以∠QAO=∠EBP，故△QAO∽△EBP，■=■，即AQ·BP=BE·AO=■×2=3.

证法4  过点B作BE∥OP交AP的延长线于点E（如图6）.

则有■=■=■，因为AP=AB=3，所以PE=■，同上可证：∠AOQ=∠OPB，因为BE∥OP，所以∠EBP=∠OPB，∠AOQ=∠EBP. 又∠QAO+∠OBP=180°，∠EPB+∠APB=180°，∠OBP=∠APB，所以∠QAO=∠EPB，故有△QAO∽△EPB，■=■，即AQ·BP=PE·AO=■×2=3.

隐含信息：结论AQ·BP=3又可以转化成比例式■=■，根据以上证明思路，构造相似三角形而获得求证.

关于线段的乘积问题，最常用的解题方法就是确定好位置以后寻找相似，怎样根据已有条件作出合理的辅助线，找出相似三角形是本题的解题突破口. 上述几种解题思路是常用的解题思路，虽然解法不一样，但都是以AQ·BP=3的隐含信息作为解题思路的出发点，找到解决问题的突破口，即相似三角形，即可论证. 当然，本题还有其他论证方法，笔者不再一一赘述.

实践证明，解题方法越多，对思维水平的要求越高. 有高度活跃的数学思维才能有开阔的解题思路，学生运用自己的知识结构，突破条条框框的约束，用发散性思维探索出多种解题办法，既锻炼了解题能力，又刺激了思维的发展. 因此，教师应在适当的时候，给予学生充分的肯定与鼓励，这样有助于让学生对数学学科产生浓厚的学习兴趣，能在培养学生思维能力的同时有效地提升数学核心素养.