解答排列组合问题的常用技巧

苏频频

排列组合是高考数学必考的知识点，排列组合问题的难度一般不大，但解法较多，容易出错，因此，我们必须熟练掌握一些解答排列组合问题的思路和方法，本文选取四种常用方法，结合例题予以说明。

一、捆绑法

捆绑法是解答排列组合问题的一种常用方法，主要用于解决相邻问题，捆绑法的应用步骤是，首先将相邻元素看作一个整体或者一个新的元素，将其与其它元素一起排列，然后再排列相邻的几个元素的顺序，最后运用乘法计数原理得出最终结果。

例1.在体育课上，教师要求5名学生排成一列，求A、B、C3名学生必须相邻的排列总数。

解析：由于A、B、c3名学生要求相邻，所以我们可以运用捆绑法，将3人看作一个整体，与剩下的2名学生一起排列，有A3种排列方法;

然后再将A、B、C3人进行全排列，有A：种排列方法：

由乘法计数原理可得，排列总数为A3A3=36种排列方法。

当题干中出现一些“特定”的词语时，如“相邻站位”“相连”“连续”等，我们就要想到运用捆绑法来解题。

二、插空法

插空法适用于不相邻问题，在运用插空法解答排列组合问题时，我们要注意找出要求不相邻和允许相邻的元素，将允许相邻的元素先排列，然后找出排列好的元素之间的空隙，将要求不相邻元素插入空隙中，再由乘法计数原理得出答案。

例2.在某一节音乐课上，教师要求学生表演才艺，其中有3个女生和5个男生，要求女生不能连续表演，而且不可以第一个表演，那么，学生的表演顺序有几种？

解析：由于3个女生要求不相邻，所以我们需要运用插空法来解题，首先将没有要求的5个男生的表演顺序排好，有A5种排列方法;

然后将3个女生插入由5个男生构成的4个空隙中，则有A4种排列方法;

由乘法计数原理得，所有同学的表演顺序总共有A5A4=2880种不同的排法，

在解答本题的过程中，我们首先要考虑女生的特殊要求：女生不能连续表演、女生不可以第一个表演，然后将没有要求的男生排好，找出其中的空隙，将女生“插入空隙”中，最后得出总的排列数。

三、间接法

间接法是一种正难则反、等价转化的方法，常用于反面情况较少的问题，在利用间接法解答排列组合问题的时候，我们首先要分析在没有任何要求时的排列情况，然后再讨论题目要求的反面情况，将二者相减即可得出问题的答案。

例3求正方体的8个顶点可以构建出多少个四面体？

解析：首先，从8个顶点中任意选择4个顶点，总共有C8种情况，

然后考虑四点共面的情况，共12种情况，

所以，这8个顶点总共可以构建C8-12=58个四面体，

本题若从正面思考，需要考虑的情况较多，利用间接法解题则需要考虑的情况较少，这种方法明显简便很多。

四、隔板法

隔板法是指在n个元素中插入m个“隔板”，将这n個元素分成m+1组，最后进行全排列的方法，应用隔板法解答排列组合问题，必须满足3个条件：第一，这n个元素必须互不相同;第二，所分成的每一组至少含有1个元素;第三，所分成的组必须彼此相异。

例4.把8个相同的球放入4个不同的盒子，有多少种不同放法？

解析：首先将8个相同的球排成一排，取3块完全相同的隔板将其隔开，这样三块隔板加8个球就有11个位置，从中选取3个位置，那么有C11种放法，

所以把8个相同的球放入4个不同的盒子，共有C11=165种不同放法。

本题中要求放入4个不同的盒子，那么我们就需要找3个隔板将8个小球分成4份，每一份最少有一个小球，然后再进行组合，在运用隔板法解题时，同学们要注意仔细思考需要放入隔板的个数，只有找对放入隔板的数量，问题才能正确获解。

上面介绍的几种方法均是解答排列组合问题的常用方法，其中每一种方法的应用条件和解题思路均不相同，同学们要注意结合实例进行分析、归纳，熟练掌握每一种方法的应用技巧。

（作者单位：江苏省海门市四甲中学）