多产的数学大师欧拉

莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）是数学史上最多产的一位数学家，他生前共出版了800多篇论文和著作，其中58%是数学方面的，物理力学和天文学各占了28%和11%，余下的3%是关于航海学和建筑学的，不可思议的是，在他逝世后，人们又整理发现了他的400多篇尚未发表的论文，时至今日，其著作和信件仍未全部面世，它们多达70卷，长达几万页。

欧拉涉足的研究领域十分广泛，从数论、圆几何、音乐理论等“纯粹”领域的研究，到无穷级数、对数、微积分和力学，再到光学、天文学、行星运动、航海学及其它实用领域的研究，欧拉提出的想法如此之多，以至于其后继者们一直在忙于跟进这些想法，法国应用数学家皮埃尔一西蒙·拉普拉斯（pierre-Simon Laplace）对人们提出了这样的忠告：“读读欧拉的作品吧，他是我们所有人的老师，”许多概念都以欧拉的名字命名：欧拉常数、多面体欧拉定理、三角形的欧拉线、欧拉动力学方程、欧拉图、欧拉五边形数定理等，欧拉的一生可以分为几个时期：1707年4月15日，欧拉生于瑞士巴塞尔，他在那里长大并步人大学;20岁时，他在俄罗斯圣彼得堡学院担任数学系教授;然而由于在圣彼得堡的处境愈发艰难，他于1741年移居柏林，并在那里生活了25年;而再次由于处境艰难（虽原因不同），他于1766年回到圣彼得堡，在那里度过了余生，于1783年去世。

一、巴塞尔时期

欧拉的父亲保罗·欧拉（Paul Euler）是一名谦逊的基督教加尔文宗的牧师，他希望欧拉可以子承父业，于是小欧拉在14岁时进入巴塞尔大学主修神学、希伯来语、法学和哲学，但在大学期间，欧拉遇到了当时欧洲最优秀的数学家约翰·伯努利（Johann Bernoulli），他对欧拉的数学能力印象深刻，并愿意在每周六为他单独授课，在授课过程中，伯努利很快意识到他的这位学生是多么与众不同，而欧拉也在跟随伯努利的学习中与他的两个儿子丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli）和尼古拉二世·伯努利（Nicolaus II Bernoulli）成为了挚友。

1724年，17岁的欧拉在取得了哲學硕士学位之后，受到父亲的影响进入神学院，为成为一名合格的牧师做准备，他在回忆录中写道：我必须进入神学系读书，并认真学习希腊语和希伯来语，但我并没有取得多少进展，因为我将大部分的时间都用在了学习数学上，令我感到开心和幸运的是，每周六我仍可以去拜访约翰·伯努利先生，虽然欧拉的父亲十分不情愿，但伯努利还是说服他相信自己那位天赋异禀的儿子是命中注定要成为一名伟大的数学家，于是，欧拉被允许离开神学系，开始了他璀璨耀眼的数学研究生涯，欧拉在20岁时就取得了第一个重要的数学成就，他在回忆录中写道：巴黎科学院曾主办过一个有奖征文竞赛，问题是如何找出船上桅杆的最优放置点，欧拉的论文败给了当时有“舰船建造学之父”称号的皮埃尔·布格，只获得二等奖，不过，欧拉此后共获得一等奖达12次之多！之后，欧拉试图留在巴塞尔大学申请数学系教授一职，遗憾的是没有成功，此时，他的好友丹尼尔·伯努利正在俄罗斯圣彼得堡科学院任职，并邀请欧拉前往，但当时圣彼得堡科学院职位紧缺，唯有医学和生理学系的教职仍有空席，因此，欧拉就自学了这些科目，并在研究耳部的过程中对声音的数学原理和波的传播产生了兴趣。

二、前圣彼得堡时期

就在1727年5月17日欧拉抵达俄罗斯的当天，命运跟他开了个玩笑，俄国开明的女皇叶卡捷琳娜一世在这一天去世了，同时俄国皇家科学院也就失去了当权者的支持。

当时，皇位的继承者彼得二世还是个小男孩，由俄国贵族掌权的派系将科学院看作是一种不必要的财政负担，不仅切断了很多科研资助，而且还经常找外籍人员的麻烦，欧拉只埋头于自己的研究，并借宿在丹尼尔·伯努利的家中，与之一起工作，1733年，丹尼尔·伯努利无法忍受在科学院遭受的种种麻烦与敌视，回到瑞士一学术岗位任职，当时年仅26岁的欧拉接替丹尼尔·伯努利成为了科学院数学所所长，欧拉下定决心要克服重重困难并安定下来，1734年他结了婚，并先后育有13个子女（仅有5个活到成年），欧拉非常享受孩子们在身边的生活，甚至一边抱着孩子，一边撰写论文，在任何情况下都没有放弃和中断他的数学研究。

在18世纪30年代期间，欧拉著作颇丰，他不仅在数论上取得了实质性的进展，在级数求和、力学领域也颇有收获，期间，他还担任俄国政府的科学顾问，为政府测绘地图，为俄罗斯海军提供建议，担任消防设备的设计审定工作，并为俄罗斯的学校编撰教科书，欧拉终其一生都在致力于数论的研究，1729年12月，他收到了同事克里斯蒂安·哥德巴赫（christian Goldbach）的来信，信中就是有关尚未证实的哥德巴赫猜想，哥德巴赫在来信中提出了如下猜想：任何大于2的偶数都可写成两个质数之和，例如：20=13+7，30=11+19.哥德巴赫在信中还提到了费马数，即形如2+1这样的数，例如，当n=0.1，2，3，4时，我们分别得到质数3，5，17.257.65537.那么所有这样形式的数都是质数吗？费马猜想它们都是，并宣称找到了一个生成质数的公式，但遗憾的是，欧拉在1732年就发现下一个数2+1是一个可以被641整除的十位数，自那以后，再无其它费马数被证明是质数，因此费马的这个猜想并不成立。

欧拉的计算能力也称得上传奇，传说某一天，欧拉的两个学生试图对一个复杂的收敛级数进行求和，但算到小数点后第50位时，两人的计算结果有所不同，欧拉只通过心算便得到了结果，作出了正确的判断，欧拉惊人的心算能力使法国数学家、物理学家弗朗瓦·阿拉戈也不免为之惊呼：“欧拉计算时显得毫不费力，就像人在呼吸或者鹰在风中保持平衡一样。”

欧拉面临的另一项挑战是找到四个不同的数字，使任意两者之和都等于一个完全平方数，而欧拉成功地找到了它们，分别是：18530.38114.45986和65570.比如下面几个示例：

38114+18530=238，

38114+65570=322，

381 14+459R6=290

德國哲学家、数学家戈特弗里德·莱布尼茨（Leib-niz）就曾在1679年写给荷兰物理学家、数学家惠更斯（christiaan Huygens）的信中提到，希望得到一种不涉及长度、距离和角度等度量概念的“位置分析”几何方法，而欧拉就是找到了这样一种方法来解决“七桥问题”，现在，我们将其称为“拓扑学”或“橡皮几何学”，如果我们在橡皮上绘制地图并将其拉伸，就发生了类似的拓扑变换。

1736年，欧拉给维也纳宫廷的天文学家乔凡尼·马里诺尼（Giovanni Marinoni）写了一封信，描述他对“七桥问题”的看法：“虽然这个问题十分乏味，但在我看来，值得注意的是几何、代数甚至计数法都不足以解决这个问题，因此，经过认真思考，我得到了一种简单但完全成立的规则，借助该规则可以快速解决所有这类‘一笔画’问题，”欧拉对哥尼斯堡七桥问题的解决方案被认为是对图论的最早贡献，如今，“一笔画”问题已可以通过观察“节点”（代表陆地）和“边”（代表桥梁）构成的网络来解决了，但用以表示这一谜题的网络直到150年后才真正诞生，同年，欧拉发表了一篇论文《力学》（Mechanica），这是他关于粒子动力学研究的第一篇论文，伴随着他对刚体运动，包括刚体自由运动和定点运动的深入研究，他于1750年在这一领域取得了显著的成果，通过选取一点作为坐标原点，选取相对于惯量的主轴坐标为体坐标轴系，欧拉推导出了我们现在所说的“欧拉运动方程”，转动惯量这个概念也来自欧拉，甚至在16年后，他还证明出刚体绕定点的任意有限转动等价于绕过定点某一轴的转动，这项工作大量地使用了微积分方程，这些方程的运用促进了微积分学的发展，而欧拉对此作出了很大贡献，大约在18世纪30年代末期，欧拉右眼失明，他将其归因于长期近距离地进行地图学工作所致，即便如此，病痛并未影响欧拉的学术生产力，他继续撰写了大量有关声学、音乐理论、造船、质数以及许多其它领域的论文。

三、柏林时期

随着欧拉在数学届名声大噪，普鲁士腓特烈大帝在1741年邀请他加入柏林科学院担任数学部主任一职，欧拉考虑到当时俄国的政治局势仍不稳定，就接受了这一邀请，随后他在柏林度过了最多产的25年时光，起初，欧拉与腓特烈大帝相处融洽，但好景不长，特别是经过了德国和俄罗斯之间的七年战争之后，腓特烈大帝对科学院的运作越来越感兴趣，但他们之间的关系开始降温，即便如此，欧拉仍恪尽职守、孜孜不倦地在各个领域探索，在18世纪40年代到50年代间，他完成了有关潮汐理论、月球运动、流体力学（河流运动）和弦振动等多个领域的论文。

欧拉当时最重要的著作是《无穷小分析引论》（In-troductio in Analvsin Infinitolllm），正是在此书中，他介绍了自己对数字e的一些早期研究成果：将e定义为阶乘倒数之无穷级数的和：

当拆分成完全不同的数时，同样是9.也恰好有8种拆分方案：

欧拉运用“母函数”（Generating funetion）证明，对于任何数字，拆分成的数都是奇数的方案数，等于拆分成完全不同的数的方案数，这是一个有趣且意想不到的结论。

欧拉在数学的多个领域都作出过重大贡献，他实际上支配了18世纪至今的数学发展;对于当时新的数学分支——微积分，他推导出了很多结果彳艮多数学的分支也是由欧拉所创或因而有了极大的进展，欧拉在他的时代，研究成果产量之多，无人能及，欧拉的一生，是为数学发展而奋斗的一生，他那杰出的智慧、顽强的毅力、孜孜不倦的奋斗精神，永远值得后人学习。