体现函数的研究方法 发展学生的核心素养

摘  要：幂函数是高中生学习的第一个函数，对高中阶段研究指数函数、对数函数、三角函数等其他函数具有示范作用. 在教学中要充分体现研究函数的“基本套路”，体现从具体到抽象，从特殊到一般，观察、归纳、抽象、概括、类比的思维方法，以及从函数图象和代数运算两方面研究函数的方法，发展学生的数学学科核心素养.

关键词：幂函数;函数的研究方法;核心素养

为贯彻落实习近平总书记给福建省寿宁县下党乡乡亲们的回信精神，持续巩固脱贫成果，10月22日至24日，由中国教育学会中学数学教学专业委员会主办的“中央苏区、革命老区中学数学教师培训”活动在宁德市寿宁县举行，笔者有幸参与此次活动，深受教育. 在寿宁县，北京市第五中学的王琦老师做了一节“幂函数”的现场研究课，受到了现场教师和专家的一致好评，给当地带来了新的教学理念，以及教学实践范例. 针对“幂函数”这节课，笔者谈谈设计和实施中的一些思考，供大家参考.

一、教学目标的定位

《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《标准》）指出：幂函数、指数函数与对数函数是最基本的、应用最广泛的函数，是进一步学习数学的基础. 本单元的学习，可以帮助学生学会用函数图象和代数运算的方法研究这些函数的性质;理解这些函数中所蕴含的运算规律;运用这些函数建立模型，解决简单的实际问题，体会这些函数在解决实际问题中的作用. 对于幂函数，通过具体实例，结合[y=x]，[y=x2]，[y=x3]，[y=x-1]，[y=x12]的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数.

教学设计时，我们一开始的困惑是在学生得出幂函数的概念“一般地，函数[y=xα]叫做幂函数，其中[x]是自变量，[α]是常数”后，是否可以突破上述这五个具体函数的限制，让学生自己给[α]取不同的值，探索幂函数的图象规律. 若这样设计，就需要借助信息技术，让学生利用信息技术画出多个幂函数的图象，本节课教学目标的重点就成为观察图象、归纳性质，这样就淡化了让学生学会用函数图象和代数运算研究这些函数的性质的方法，与《标准》给出的教学目标存在偏差. 同时，函数的图象都是通过信息技术来画的，学生不能体会先研究函数的性质，再画出函数图象的函数研究方法. 另外，幂函数的种类很多，学生掌握起来有很大的困难，考虑到教学对象的实际情况，不能人为增加学生的负担，因此教学内容的定位依据《标准》，不进行拓展，让学生通过函数[y=x]，[y=x2]，[y=x3]，[y=x-1]，[y=x12]的图象和性质，了解幂函数，掌握幂函数的研究方法.

二、教学重点的体现

学生在初中学习了正比例函数、一次函数、二次函数和反比例函数，积累了研究函数的经验. 到了高中，學习了集合语言和逻辑用语，而且高中对函数的概念进行了深化及符号表征，对函数的性质进行了抽象与扩展，学生对函数的认识也发生了变化，对函数的研究将会在初中研究的基础上进一步发展与深入. 幂函数是学生高中学习的第一个函数，对今后学习指数函数、对数函数、三角函数等其他函数具有示范作用，因此对幂函数的研究至关重要，需要让学生体会研究一类函数的“基本套路”（定义、表示、图象与性质、应用）. 在这个基本套路中，要让学生经历研究一类函数的基本过程;体会一类函数具有的现实背景，明确一类函数的定义是从现实背景中抽象概括而来的;学习从特殊到一般，从具体到抽象，从函数图象和解析式研究性质的方法;同时深化对函数概念与函数性质的理解.

人教A版教材将幂函数的内容安排在一般函数的概念和性质之后，可以理解为幂函数的学习是函数概念与性质的下位学习，同时通过幂函数的学习积累研究一类具体函数的内容、基本思路与方法，为后续研究指数函数、对数函数、三角函数等奠定基础并提供范例.

三、教学过程的生成

在教学的第一个环节——从实际情境中抽象出幂函数的定义后，教师追问：根据定义，你能再举出几个幂函数吗？这是一个开放性问题，虽然这样的设问是让学生根据定义进行举例，但不能小看这个问法，这不仅能培养学生的发散性思维，而且对学生的思维水平要求更高. 学生需要在理解定义的基础上，整合现有知识，举出例子并进行判断，举例子的过程就要考虑例子是否满足定义，还要考虑例子的表达形式，是一个综合的思维过程，比教师直接给出函数的解析式让学生判断是否满足定义的思维要求更高. 这个过程不仅可以培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力，还能发展学生的数学抽象素养.

在教学的第二个环节——探究幂函数的图象和性质的“梳理研究路径，明确研究内容”中，教师提问：结合以往学习函数的经验，我们应该如何研究幂函数？这样设问，主要是为了调动学生以前积累的研究函数的方法和基本活动经验，为下面研究函数做好准备. 接着，教师追问：如何作出幂函数[y=xα]的图象？学生根据以前研究函数的经验，类比给出从特殊到一般的研究策略. 教师继续追问：[α]取什么特殊值进行研究，才能具备代表性？据此，教师指出本节课只是抛砖引玉，只从[α]为正整数的情况中选取三个最简单的，即[y=x]，[y=x2]，[y=x3]，从[α]为负整数的情况中选取一个最简单的，即[y=x-1]，从[α]为分数的情况中选取一个最简单的，即[y=x12=x]进行研究. 掌握了研究的方法，其他幂函数可以课后自行探究. 问题层层深入、层层递进，学生在解决问题的过程中，思维的水平得到了发展.

教学的第三个环节——探究五个幂函数各自的图象和性质，这是本节课的重点. 在这个环节，教师将要研究的五个函数分成两类：一类为学生已经学过的熟悉的函数[y=x]，[y=x2]，[y=x-1];另一类为学生没学过的、不熟悉的函数[y=x3]，[y=x12]. 第二类的两个函数图象的生成将是教学的重中之重，教师对这两个函数的处理方式不同. 对于函数[y=x3]，教师引导学生通过列表、描点、作图来完成. 在列表时，如果能够结合函数的奇偶性，既可以提高列表效率，又可以让学生认识到函数的奇偶性在函数研究过程中有事半功倍的作用，还可以让学生理解在研究函数的过程中单调性与奇偶性的顺序问题. 对于函数[y=x12]的图象的研究，教师先结合初中的知识，将函数转化形式，表示为学生熟悉的[y=x]形式，然后研究此函数的定义域、奇偶性、单调性. 对于单调性的研究，教师把教材中的例题前移，放在此处处理，让学生从单调性的定义证明函数[y=x12]在[0，+∞]上是单调递增的，让学生对这个陌生函数的单调性有了更深入的认识，最后再让学生根据函数的性质画出函数的图象. 教学过程循序渐进，在与学生的互动中自然生成，给人的感觉是和谐、自然、水到渠成.

四、信息技术的使用

党的十九大做出中国特色社会主义进入新时代的判断，开启了加快教育现代化、建设教育强国的新征程. 计算器、计算机在飞速发展的今天日益普及，运用计算器、计算机等信息技术工具，不仅可以实现快速、准确地列表、画图、计算等数据处理，而且能使大量人工难以完成的数据处理变成可能，信息技术的使用已经是教师教学的一部分. 在本节课中，信息技术使用恰当，对于学生不熟悉的函数[y=x3]，[y=x12]，教师没有直接利用信息技术软件画出函数的图象，而是让学生经历画出函数图象的过程，在学生得到大致图形后，再利用信息技术准确地画出函数图象，加深了学生对函数图象的认识. 信息技术虽然使得教学生动、多样、高效，但在教学中，不能为了使用技术而使用，也不能用信息技术代替学生的思考，要恰到好处.

五、教学引入的思考

对于幂函数的教学引入，我们有两个观点：一是依据幂函数背景，从实际生活中抽象;二是依据幂函数的结构，从数学知识发展中引出. 两种方式各有优势和不足.

第一种引入方式，通过一系列实际问题，学生可以感受到客观世界中很多变量关系可以用幂函数表示，从而体会到幂函数研究的必要性和应用价值. 而且中学阶段学习的几种函数都有着它们的实际背景. 幂函数是高中阶段学习的第一类具体函数，从实际背景中抽象出幂函数的概念，对高中阶段其他函数的研究具有示范作用. 同时，对实际问题进行抽象也是很多数学概念和问题产生的方式.

第二种引入方式，结合学生初中学习过的一次函數、二次函数和反比例函数提出问题：前面我们学习了函数的概念和表示法，以及函数的单调性、奇偶性和最大（最小）值. 今天我们就应用所学，研究一类具体的函数. 初中我们学习过一次函数、二次函数和反比例函数，它们都是在实际生活中有着广泛应用的函数，不难发现这些函数都是由[y=x]，[y=x2]，[y=1x=x-1]这样一些更为基本的函数通过运算得到的. 从解析式上看，这几个函数有什么共同特征？学生观察几个函数解析式的结构，发现它们都具有幂的形式，底数是自变量，指数是一个常数，然后给出定义. 这样设计，学生容易认同幂函数的基础性，从而认同研究幂函数的价值，也为后续认识幂函数与多项式函数的关系奠定基础. 多项式函数是我们最熟悉的函数形式之一，是由幂函数经过一系列运算得到的. 多项式函数用它近似代替一些比较复杂的函数，实现以简驭繁，这是研究函数在一点近旁性态的有力工具，也是微分学，乃至数学的精义所在. 微积分中的泰勒展开式，给出了用多项式函数近似表达复杂函数的理论保证，在近似计算和数值分析中具有十分重要的意义，幂函数是多项式函数的基础，在后续的学习中发挥着巨大的作用.

权衡两种幂函数教学的引入，考虑幂函数是高中研究的第一个函数，教学中要充分体现幂函数的范例作用，我们选择了第一种引入方式. 关于第二种引入，也就是幂函数的基础地位，幂函数的价值，在后续的教学中寻找合适的时机，让学生体会.

新时代背景下，教育教学在《标准》、教材、考试等方面发生了一系列变化，需要我们教师紧跟时代的步伐，更新教育理念，认真研究《标准》、研究教材，研究数学的本质，精心设计教学过程，发展学生的核心素养，铸魂育人.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]章建跃. 注重“基本套路”才是好数学教学[J]. 中小学数学（高中版），2012（3）：封底.

收稿日期：2020-11-02

作者简介：雷晓莉（1973— ），女，中学高级教师，主要从事中学数学教学、评价和教师培训研究.