高中数学解题训练的三点感悟

李雨臻

摘 要：在高中数学学习中，解题训练的重要意义自然不言而喻。在平时的学习中，学生不能为了解题而解题，而是积极地去思考和体会，从而最大限度地提升解题能力。本文简要探讨了笔者自身对于高中数学解题训练的三点感悟，即注重数学思想及方法的提炼、寻求创新性解法以拓展思维、对错题原因进行深层次反思，冀对高中同学有所助益。

关键词：高中数学;解题训练;数学思想、一题多解;错题分析;学习心得

数学教育家波利亚有句广为人知的名言：“掌握数学的主要表现就是善于解决问题”，他还在其名著《数学的发现》序言中说：“中学数学教学的首要任务即为加强解题训练。”就高中数学而言，解题训练的重要意义自然不言而喻。在平时的学习中，我们不能为了解题而解题，而是积极地去思考和体会，从而最大限度地提升解题能力。以下是笔者结合自身学习实践所产生的三点感悟，冀对高中同学有所助益。

一、注重数学思想及方法的提炼

众所周知，大多数高中数学题目中都蕴含着经典的数學思想及方法，如数形结合、分类讨论，转化与化归，以及方程与不等式等，当面对一道题目时，能否正确运用恰当的数学思想及方法往往是顺利解题的关键。在解题训练中，我们亦应注重数学思想及方法的提炼，以期加深理解，从本质上掌握题目精髓。例如：函数f（x）=cos（3x+π/6）在[0，π]的零点个数为（）。该题若用取点作图法的话自然离不开数形结合，但实际上除此之外，我们还可以利用换元和转化的思想采取一种更简单的解法，即：先换元，设3x+π/6=t，由x∈[0，π]得到t∈[π/6，3π+π/6]，然后通过y=cost的图像易知，当t=π/2，3π/2，5π/2时，cost=0，即f（x）有三个零点。该解法通过换元转化的方式利用了基本三角函数y=cost的图像，思路上有一定的技巧性，对此应当给予一定的重视，仔细体会换元转化思想在其间发挥的重要作用。

二、寻求创新性解法以拓展思维

“数学是思维的体操”，一题多解是高中数学解题中常见的现象，在平常的解题训练中，除了老师的引导和强调外，学生自身也应注重寻求一些创新性的解法以拓展思维，同时亦可增加思维深度。例如：已知函数f（x）=|2x-1|，其值域为（2，6），求其定义域。该题的解答需要将先已知条件转化成不等式问题，即2<|2x-1|<6。转化成不等式问题后，问题就较为简单了，可以将2<|2x-1|<6拆分为2x-1|<6和|2x-1|>2两个不等式，分别求解进而将两式的解综合，最终得出x的取值范围。但这一思路仅属于一般性的思路，我们还可以采取一种创新性的思路来求解该题。分析题设可以发现，该题的难点主要是绝对值的存在，如果能够首先去掉绝对值从而简化不等式，则问题也就迎刃而解了。而根据绝对值的定义，2<|2x-1|<6去掉绝对值后变成两个式子，即2<2x-1<6和-2<2x-1<-6，这时再采用常规性的解题思路就很容易解答该题了。在解答和训练过程中，要注意体会这种创新性的思路，以达到拓展思维的目的。

三、对错题原因进行深层次反思

解题训练中难免会遇到容易做错的题目，对于错题的总结和反思是解题训练中十分重要的一环。对错题的总结和反思，其核心重点是从思维过程中找到深层次的出错原因，抓住实质，有的放矢，从根源上暴露问题进而消除问题，这样才能够真正从中受益。例如：“若锐角△ABC中角B是角A的2倍，则cosA+cosB的取值范围是多少？”比较典型的错误解答过程是：cosA+cosB=cosA+cos2A=2cos2A+cosA-1=2（cosA+1/4）2-9/8，由于△ABC为锐角三角形且B是角A的2倍，故有A∈（0，π/4），cosA∈（0，/2），所以cosA+cosB=2（cosA+1/4）2-9/8在cosA∈（0，/2）上单调递增，由此得到cosA+cosB∈（-1，/2）。那么错误的原因在哪里呢？表面上看是忽略了C=π-（B+A），C∈（0，π/2），从而得到A>π/6，A的区间大小错误而导致解答错误，但实际上，深层次的原因是忽略了C为锐角时对角A得制约，致使求得的A的区间变大，而从根源上看，则是解题者对锐角三角形的定义没有全面而切实掌握，没有合理地利用上锐角三角形中任意两个锐角两个角的和为钝角这一隐含条件。而这在三角函数解题中又常常是正确解题的关键性条件。这样，通过对问题根源的剖析而明确出错的本质原因，自然就能够真正掌握该题，并在同类题目中不再犯同样的错误。试想，如果仅仅是指出错误，讲一下正确解法，则学生很可能是知其然而不知其所以然，难保下次继续出错。

综上所述，本文简要探讨了笔者自身对于高中数学解题训练的三点感悟，即注重数学思想及方法的提炼、寻求创新性解法以拓展思维、对错题原因进行深层次反思。事实上，高中数学解题训练当然是一个兼具深度和广度的话题，需要在学习实践中不断积极探索和总结，本文抛砖引玉，尚盼有识者指教。

参考文献

[1]李添泉.高中数学解题训练有效策略的研究[J].考试周刊，2017（67）.

[2]张固喜.变式训练教学模式在高中数学解题中的应用分析[J].求知导刊，2016（9）：94-94.