包含Smarandache LCM函数及其对偶函数的混合均值

高倩，高丽，梁晓艳

(延安大学数学与计算机科学学院, 陕西 延安 716000)

0 引言

罗马尼亚著名的数论专家F.Smarandache在文献[1]中提出的F.Smarandache LCM函数sl(n)被定义为对于任意的正整数n,sl(n)=min{k,n|[1,2,…,k]},如sl(1)=1,sl(2)=2,sl(3)=3,….由sl(n)的定义易得,若n=p1α1p2α2…prαr是n的标准分解式,则sl(n)=Max{p1α1,p2α2,…,prαr},而其对偶函数sl*(n)=Max{k,[1,2,…,k]|n}，且当n为奇数时,sl*(n)=1;当n为偶数时,sl*(n)≥2. Smarandache LCM函数sl(n)及其对偶函数sl*(n)均是数论中极为重要的函数,关于二者与其他数论函数混合均值问题的研究,仍是数论中极具意义的课题.

此课题受到了许多学者的关注，也得到了一系列较好的结果.如文献[2]中证明了,若n是素数,则sl(n)=s(n),并提出

s(n)≠n?

(1)

本研究受到上述文献的启发,应用初等及解析的方法,通过分区间讨论的方式研究Smarandache LCM函数sl(n)及其对偶函数sl*(n),与数论函数w(n)的复合函数均值性质,并得到了一个有趣的渐近公式.

1 相关引理及证明

引理3[11]对于任意的实数x>1,p为素数有

2 定理的证明

(2)

(3)

讨论集合B的情况,由sl(n)的及集合B的定义知,对于任意的m∈B,P(m)=2,标准素因数分解为m=p1α1p2α2,且p1α1

(4)

讨论集合C的情况,由由sl(n)的及集合C的定义知, 对于任意的m∈C,P(m)=3,m的标准素因数分解为m=p1α1p2α2p3α3,且p1α1

(5)

(6)

由集合A,B,C的定义,并结合(3)～(6)式可得

即该定理得证.

3 结论

本文中研究了sl(n),sl*(n)与w(n)的复合均值,并给出了一个有趣的渐近公式,从而丰富了数论函数均值有关问题的研究.