好题积学,以题促知

2020-09-12 14:15:30 数学教学通讯·初中版 2020年7期

朱丽华

[摘  要] 复习课是初三学科教学的主要课型,它陪伴学生度过初三的大多数时间,复习课的成效直接关系到学生的中考成绩,提高复习课的教学效率是教师不懈的追求,这不仅仅为了中考,更为了学生学习能力的提升,教师专业素养的升级.

[关键词] 好题;初三教学;一轮复习;习题;反比例函数

对于数学学科而言,“温基础、讲方法、提能力”是一轮复习的主要目标,基础的巩固、方法的归纳及能力的提高都有赖于实际问题的解决,因此题目在数学教学中有着无可替代的重要地位. 诚然,勤于练习是提高数学成绩的不二法门,但众所周知,多做题绝非是盲目刷题,而是在有限的时间内获得尽可能多的练习机会,以解决多变的问题,发散自己的思维,以此来提高成绩. 笔者多年奋战在初三教学的一线,对于做题如何做到“多”而不“盲”有自己的看法,下文结合“一轮复习:反比例函数”的教学片段,就如何以题目来贯穿一轮复习课堂,提高教学效率谈谈自己的理解.

以题理知,温故基础

“基础”是一轮复习所围绕的中心,基础知识的回顾是一轮复习的必备环节. 在复习中,以直接陈述的形式进行基础知识的复习效果甚微,而从问题中对基础知识进行梳理则更利于学生夯实基础,并领会基础知识的实际运用.

课前作业:完成下列题目,并思考每个问题所对应的知识点.

(完成方式:学生课前完成,课上互查纠错后学生展示成果)

1. 已知反比例函数y= 图像上有一点A(m,n),则代数式mn-4的值为(      )

A. 0      B. -1      C. 1     D. -7

2. 若点(2,-1)在反比例函数y= 的图像上,则该反比例函数的图像在第______象限.

3. 若函数y=  的图像在同一象限内,y随x的增大而减小,则a的值可以是______. (写出一个即可)

4. 如图1,在平面直角坐标系中,O为正方形ABCD两条对角线的交点,已知双曲线y= 经过点D,则正方形ABCD的面积是(      )

A. 10      B. 11      C. 12      D. 13

5. 如图2,已知双曲线y= (k<0)经过Rt△AOB的斜边OA的中点D,且与直角边AB相交于点C. 若点A的坐标为(-6,4),则△AOC的面积为(      )

A. 12      B. 9      C. 6      D. 4

展示片段:

师:在上述几个问题中,大家觉得哪些题目在解决上有难度呢?

生1:我觉得第5题有点复杂.

师:哪位同学可以帮助他分析一下第5题的思路?

生2:这道题目用面积的和差就可以了,将△AOC的面积转变为△AOB与△BOC的面积差,由点A的坐标可以直接求出△AOB的面積是12,由于△BOC是过反比例函数y= (k<0)上的一点C所作的过原点的直角三角形,因此它的面积可以根据k的几何意义来求. 因为反比例函数上的一点D是OA的中点,所以由点A的坐标可以求出点D的坐标为(-3,2),因此k=-6,△BOC的面积为 k=3,△AOC的面积即为12-3=9.

师:你分析得真是透彻,那么可以告诉大家这道题目所对应的有关反比例函数的知识点是什么吗?

生2:反比例函数k的几何意义.

教师引领学生共同回忆k的几何意义并进行简单板书.

师:剩下的4道题目大家都认为难度不大,基本能够保证正确. 那么这些问题又对应了反比例函数的哪些知识点呢?能否梳理一下?

生3:第1题对应的是反比例函数的定义,第2题对应的是反比例函数的图像,第3题对应的是反比例函数的增减性,第4题对应的也是k的几何意义.

师:你回答得很完整,这些问题中几乎包含了反比例函数的所有知识点.

教师和学生共同梳理并完成板书(如图3).

设计意图  由问题出发进行知识点的回顾是让学生自己进行思考,变机械接受为主动的预复习. 题目是在课前完成,因此题量少而精,且难度不大,呈现一定的层次性. 这样有利于学生对基础知识的再认识与回顾,同时为学好本节课的内容增加信心. 因为是复习课,所以板书不需要很详细,只需要结合学生的回答逐渐建构起结构式框架图,知识点简单明了,利于学生形成完整的知识系统. 这一环节完成的是知识的框架建构,让学生站在整个板块的层面审视本节内容.

以题固知,直击考点

数学是一门以掌握方法为主的学科,而方法的掌握源于问题的解决与积累,以题目来巩固知识与方法符合数学学习的基本规律,同时也能直接展现知识点与考点之间关系.

例1  如图4,在平面直角坐标系中有等边△ABO,已知点A的坐标是(4,0),点B在第一象限. 若反比例函数y= 的图像经过点B,则k的值为(      )

变式:如图5,平面直角坐标系中有一菱形OABC,它的顶点是O,点B在y轴上,两条对角线的长分别是4和8. 若反比例函数y= (x<0)的图像经过顶点C,则k的值为______.

例2  已知两点P (x ,y ),P (x ,y )在反比例函数y= 的图像上,当x >x >0时,下列结论正确的是(      )

A. 0

C. 0

变式1:已知点A(-2,y),B(3,y2)是反比例函数y=  (k<0)图像上的两点,则下列关系正确的是(      )

A. y <0

C. y

变式2:在反比例函数y= 图像上有两点A(x ,y ),B(x ,y ),已知x <0

A. m>         B. m<

C. m≥       D. m≤

例3  如图6,在平面直角坐标系xOy中,反比例函数y = (k为常数,且k≠0)与一次函数y =ax+b(a,b为常数,且a≠0)的图像交于点A(-2,-1),B(1,n).

(1)求反比例函数和一次函数的解析式;

(2)连接OA,OB,求△AOB的面积;

(3)直接写出当y

(完成方式:学生独立完成后小组交流,学生代表全班交流展示)

展示片段:

师:参照刚才小组交流的结果,请大家对题目的解答方法、每道题目所对应的考点及解题注意点进行展示.

生1:例1及例1变式的考点是反比例函数k的几何意义. 需要注意的是看清图像中对应的是直角三角形还是矩形,即不能混淆图中体现的是k还是 k.

师:这位同学分析得很仔细,反比例函数k的几何意义是反比例函数部分重要的考点,题目难度的跨越性较大,但是不管题目难或是简单,我们只需抓住其根本,就是找到所需要的直角三角形或矩形,即可使问题迎刃而解.

生2:例2及两个变式的考点为反比例函数的增减性. 需要注意的是确定需要比较的两点是否在同一象限,避免错误的方法就是画出草图后进行判断.

师:他的思路非常严谨,可见平时对数学知识的积累比较扎实,不仅准确地指出了这类问题的注意点,而且还告诉大家避免错误的方法.

生3:例3是综合性问题,考点包含了待定系数法求解析式、简单的几何问题、反比例函数图像与不等式的关系. 我认为需要注意的是第(3)小问,解题时要准确分辨不等式所表示的几何意义.

师:你归纳得很完整,这是反比例函数中一道基本的综合题,包含了反比例函数的基本考点,函数与不等式或方程的关系比较抽象,需要同学们多加揣摩,厘清含义及联系,才能避免错误.

设计意图  在提倡生本课堂的当下,复习课更是体现学生主体地位的载体,复习的对象是学生,因此例题环节先让学生自己解决,教师结合学生的实际情况,进行适当的点评、启发、引领,并启迪学生进行必要的归纳与补充. 由于课堂教学的时间限制,例题的数量不宜太多,2~3题再加上变式即可. 因为是一轮复习,所以问题难度也应该控制在中等或中等偏上,主要以知识的完备性及典型性为关注点,并结合方法与技能的总结和归纳. 笔者设置的例题出自学生以往的作业中,选用了中考常见题型,让学生通过练习及分析达到一轮复习的目标.

以题促知,提升能力

数学复习是一个使学生能力逐渐得到提升的过程,在以习题为主线的一轮复习课中,最后的巩固练习环节是必不可少的,它是学生自查反思、查漏补缺的过程,可以促进学生对知识的掌握,提升学生的解题能力.

1. 已知反比例函数y= 的图像经过点P(-2,3),则该函数图像不经过的点是(      )

A. (3,-2)       B. (1,-6)

C. (-1,6)       D. (-1,-6)

2. 已知正比例函数y =k x的图像与反比例函数y = 的图像相交于A,B两点. 其中点B的横坐标为-4,当y

A. x<-4或x>4

B. x<-4或0

C. -4

D. -44

3. 如图7,已知直线l⊥x轴于点P,且与函数y= (x>0)和y= (x>0)的图像分别交于A,B两点,连接OA,OB,且△OAB的面积为2,则k -k 的值为______.

4. 如图8,在平面直角坐标系中A点的坐标为(8,y) ,AB⊥x轴于点B, sin∠OAB =   ,反比例函数y=   的图像的一支经过AO的中点C,且与AB交于点D.

(1)求反比例函数解析式;

(2)若函数y=3x 与y=   的图像的另一支交于点M,求三角形OMB与四边形OCDB的面积的比.

(完成方式:学生独立完成,教师深入学生指导纠错)

设计意图  该环节作为一堂复习课的巩固与升华,问题的难度要稍高于例题,同时涉及的知识点也要全面,并达到变通和拓展的效果,不仅从知识与技能上达到巩固拓展,更要从思想与方法上达到触类旁通. 另外也要控制好题量,尽量让学生能够在课上完成,在完成的过程中教师可以对学生进行个别辅导、适时点拨、有的放矢,以较大限度保证每个学生的进步.

总之,我们在复习环节,一定要在基础知识与基本技能上注重基础的夯实,在方法与思想的提炼上达到学以致用,在能力拓展与素养提升的环节达到游刃有余.

“成绩”是一个让无数家长及师生魂牵梦萦的词,尤其对于毕业班的学生来说,成绩在学习中更是有著无法取代的地位. 以中考成绩来决定学生未来的方向看似残酷,但背后却承载着“知识面前人人平等”. 解题能力是数学能力的主要体现方式,数学能力是学生综合能力及素养的重要组成,以问题来贯穿中考数学一轮复习既符合数学知识的掌握特征也适应学生的能力发展规律. 真正爱好做题才能积累学识,不断地解决问题方能促进知识的掌握,实现“好题积学,以题促知”.