师生互动交流探索解题的案例分析与感悟

2020-09-12 14:15:30 数学教学通讯·初中版 2020年7期

陈鸿燕

[摘  要] 教学活动应该是教师与学生双方都能积极参与、交往互动并共同发展的过程. 学生在学习过程中表现出的紧追不舍的精神对于教师来说是一种有力的触动,从学生的数学学习来看,教师与学生之间的这种解题探究与交流带给学生的是无穷的动力与成就感.

[关键词] 师生互动;互动交流;探究;解题

在日常教学中,一线教师特别注重对知识点的讲授,常常认为一定要把某一个知识或者某一道题目讲清楚、透彻,就算完成了教学任务. 但是笔者在近几年的教学实践中常思考,学生遇到教师讲过多次的题目,若在题型上稍微做一些变化,就无法顺利解答,甚至无法理解题意,这个问题的根源在何处?通过研究会发现,从教的角度来说,教师是完成了教学任务,但是从学的角度来说,教师完成教学目标了吗?所以在最近几年的教学过程中,笔者经常通过讲透一道题目,然后进行一系列的变式训练,再尝试经过师生互动交流来探索解题背后的根源,在这个过程中逐步渗透核心素养的培养. 下面通过一个案例来阐释笔者在日常教学中的做法.

问题的开始

题目1:如图1,某海滨浴场的B点处有险情,边防巡逻队在A点处发现了这一险情并委派了三名救生员前去营救,1号救生员迅速从A点跳入海中,2号救生员迅速跑至C点并跳入海中,3号救生员迅速向前跑300米至D点后跳入海中. 若将海岸线看成直线,救生员跑速均为6米/秒,游泳速度为2米/秒. 如果∠BAD=45°,∠BCD=60°,三位救生员从A点出发的时间是一致的,谁会先抵达点B处呢?(参考数据 ≈1.4, ≈1.7

这是笔者在中考复习期间留给学生的一道课外练习,多数学生利用三角函数知识正确解决了此题.

解答:在△ABD中,因为∠A=45°,∠D=90°,AD=300,所以AB= =300 ,BD=300. 所以BC= = =200 ,CD= = =100 .

1号救生员到达B点用时: =150 ≈210(秒);

2号救生员到达B点用时: + =50+ ≈191.7(秒);

3号救生员到达B点用时: + =200(秒).

故2号救生员是最先到达B点的.

课后有学生提出以下困惑:计算可知2号救生员是最先到达B点的,但对这一结果却难以理解. 假如救生员水上、水下的速度一样,选择在A点下水无疑是正确的,但现实情况是水上速度是水下速度的3倍,救生员就应该在C点下水吗?C点又是如何确定的呢?如果速度关系是2倍、4倍、5倍呢?下水点又应该怎样确定?

互动交流,层层深入

笔者首先抽取了题2中的基本模型.

题2:如图2,B是直线AD上一点,点D离点B最近,AD>BD. 若一动点从点A出发并沿AD方向到达点C,再沿CB方向到达点B,如果动点在直线AD上的速度是其在直线CB上速度的2倍,则点C应在哪个位置,才能令该动点从点A至点B用时最少?

分析  设该动点在BC上的速度是v,则其在AC上的速度是2v. 所以用时为 + . 而 + = ,于是问题转化成求AD上一点,使BC+ 的值最小.

将“最短路径”问题转化成寻求“替代点”问题是最常用的解题方法,此题中不仅要寻得点A的替代点,还要让点C到它的距离一直是 ,构造含30°角的直角三角形并使得AC是斜边,则该替代点即为直角顶点. 如图3,当∠DAM=30°时,不管C的位置,过点C作CE⊥AM,垂足为E,始终有CE= . 在图3的AD上任意取C ,C ,C ,C ,并分别作C E ,C E ,C E ,C E ,连接BC ,BC ,BC ,BC 可知,只有当B,C,E三点在一条直线上时,BC+CE=BC+ 的值最小.

学生在笔者讲解“基本模型”的过程中豁然开朗,笔者赶紧追问:若动点在直线AD上的速度是在直线CB上速度的3倍,我们又应该如何确定C点呢?笔者提出这一问题意在检验这两位学生是否真的理解了.

生1:让CE是AC的 即可.

师:怎么画呢?

生2:关键在于∠DAM.

生1:假如速度是3倍,则只要让 = 即可,而 =sin∠DAM,所以sin∠DAM= . 通过计算器的sin 即可求得∠DAM的度数,用量角器画出该角并从B点向AM作垂线,与AD的交点即为点C.

师:画法其实还能简洁一点,如图4,△BDC∽△AEC,因此作出图中BD并在BD靠A点一侧作出∠DBC,角的另一边和AD的交点就是我们要求的点C.

生1:要用计算器与量角器才能作出这个点,尺规作图能完成吗?

生2:我们还是以3倍速度为例吧.

①任意作一射线PQ并以任意长度作为单位,顺次截取3个单位长度可得线段PN;

②以PN为直径作圆O;

③以N为圆心、一个单位长度为半径作弧并与圆O相交于点T,连接PT(如图5);

④如图6,以BD为一边作∠DBC=∠TPN,角的另一边与AD相交于点C,即可求解.

作图可知 = ,PN是直径,因此∠TPN即为我们要求的角度. 速度的倍数不管是多少,运用这一方法都能求出相应的角度.

于是,笔者引导这两位学生重新回到题目1的思考中,要求学生对点C是不是最佳下水点进行验证.

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学生给出的解答如下:

解:如图7,将最佳下水点设作P,则根据之前的探索结果可得sin∠PBD= = ,设PD=x,则BP=3x,在Rt△BPD中,由勾股定理得BP2=PD2+BD2,即(3x)2=x2+3002,解得x=75 ,则AP=300-75 ,所用时间为 + ≈190秒.

由此可见,题1中,虽然2号救生员到达B点的用时最少,但其下水点C事实上并不是最佳下水点,根据计算可知,最佳下水点应该是在距离D点75 米的位置,这时救生员抵达点B只需要用时190秒.

学生在这样的解题“曲折”之中解除了原有的困惑,将问题中的知识与方法也彻底弄清楚了,笔者也因此沉浸在解题探索的回味之中.

感悟

從问题产生到最终的彻底解决,笔者实际上都是被动的,学生屡次从问题中追寻一般化规律的思考与探索将笔者置于相对被动的位置,笔者在这样的解题探索中,因为学生的追问而思考和探索,作为数学教师,这实在不是一种积极的思维与态度,需要在今后的教学中不断反思和改进.

事实上,教学活动应该是教师与学生双方都能积极参与、交往互动并共同发展的过程,新课程标准中的这一基本理念在上述的教学案例中也得到了生动的体现. 笔者深刻领会到其中内涵的同时也不禁暗下决心,师生之间的相互追问令问题的讨论直达其核心与本质,这是一种值得提倡的教学方式. 学生的思考与学习遭遇困难之时,正是教师应该伸出援手的时刻,同时,学生在学习过程中表现出的紧追不舍的精神对于教师来说,也是一种更有力的触动,这是促进教师对问题研究展开更深层次思考的一种动力,是对教师知识技能发展、教学活动认知、专业技能提升的一种触动.

从学生的数学学习来看,教师与学生之间的这种解题探究与交流带给学生的是无穷的动力与喜悦,学生在互动探究的成就中顿感兴致勃发,数学钻研学习的积极性也因此得到很好的激发,这种积极性形成习惯的同时也令学生在数学学习中获得不同的情感建设,数学精神也因此在其心中生根发芽.