浅析数学学习中的分类讨论思想

2020-09-12 14:15:30 数学教学通讯·初中版 2020年7期

林金山

[摘  要] 初中数学学习的过程就是不断运用数学思想进行观察、分析、比较、判断、概括和推理的过程. 分类讨论思想作为数学思想中的一个分支,具有帮助学生构建数学概念,积累数学经验,树立正向的数学观的作用. 文章从图形问题、方程问题和实际问题三个角度浅析分类讨论思想在解题中的应用.

[关键词] 分类讨论思想;方程;图形;解题

所谓的分类讨论思想是初中数学解题过程中常用的一种方法,主要考查学生在思考问题过程中的严谨性、逻辑性和全面性,一般需要运用这种方法的问题综合性都比较强,有一定难度,在试卷中常作为压轴题. 因此,运用此类解题思想的问题大多属于区分学生层次的问题. 分类是指将数学现象的异同点,使用各种分类的办法进行区分,学生在分类过程中感知分类方法及分类思想,感悟分类的本质,加深对知识的理解程度,从而提高解题能力. 其中特别要注意的是分类必须无重复、无遗漏,确保考虑的周全.

分类涉及面及分类原则

想要学好数学,首先要有良好的数学思想,数学思想就是数学学习的灵魂. 其中分类讨论思想是数学思想中的重要思想之一,在初中数学学习中起着举足轻重的作用. 而初中阶段涉及分类讨论思想的知识点主要有以下三个类别:第一是代数类,其中的方程、绝对值和根的概念,函数部分的概念及坐标所在象限等均有涉及;第二是几何类中的图形位置及对应关系,相似或全等类情况;第三是代数与几何的综合运用类题型. 分类过程中要遵循以下原则:一是分类的各个部分互相独立;二是统一分类标准;三是分类需逐级有序地进行;四是常以公式、性质或定理等条件作为分类的标准.

例析分类讨论思想的运用

1. 应用于几何问题中

几何图形的学习中三角形作为基本图形,是初中数学考核的重点之一. 尤其是相似、等腰三角形的问题常涉及分类讨论思想的运用,以考查学生的数学思维和逻辑能力.?摇

案例1  如图1,在△ABC中,∠C=45°,BC=10,高AD=8,矩形EFPQ的一边QP在BC边上,E,F两点分别在AB,AC上,AD交EF于点H.

(1)求证: = ;

(2)设EF=x,当x为何值时,矩形EFPQ的面积最大?请求出其最大值.

(3)当矩形EFPQ的面积最大时,该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度,沿射线QC做匀速运动(当点Q与点C重合时就停止运动),假设运动的时间是t秒,矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S,求S与t的函数关系式.

分析  该题的第(1)問很简单,只需证明△AEF∽△ABC即可.

至于第(2)问,可根据第(1)问的结论,求出AH的长度为 x,EQ=8- x,矩形EFPQ的面积就是S=x8- x,经化简整理,可得S=- (x-5)2+20,故当x=5时,S最大,为20.

第(3)问的难度要更大些,可以先求出EF=5,EQ=4,证明△FPC是等腰直角三角形,得PC=FP=EQ=4,QC=QP+PC=9. 根据实际,从以下三种情况:0≤t<4,4≤t<5,5≤t≤9进行分类讨论. 经讨论可得以下几种函数关系式:

当0≤t<4时,S=- t2+20;

当4≤t<5时,S=-4t+28;

当5≤t≤9时,S= (t-9)2.

此类题型都比较灵活,学生只有掌握分类讨论的思想,将三角形的各个知识点结合在一起进行思考才能获取解题的思路.

2. 应用于方程问题中

方程问题也是初中数学的重点内容之一,分类讨论思想一般运用在带参数的方程问题中.

案例2  关于x的方程(m-4)x2-(2m-1)x+m=0,m为何值时,方程有实数根?

分析  本题没有具体阐述实数根的情况,实数根可能有一个或两个. 因此,判断此方程是一元一次方程还是一元二次方程是重要的一步,而判断标准又由方程的系数来决定. 鉴于此,本题首先要分类讨论的是未知数最高项系数m-4:

当m-4=0即m=4时,方程为一元一次方程-7x+4=0,求解,得一个实数根x= ;

当m-4≠0即m≠4时,方程是含有参数m的一元二次方程,根据一元二次方程有实数根,可得Δ≥0,即(2m-1)2-4(m-4)m≥0,解得m≥- .

因此,当m≥- 时,方程有实数根.

由本题可见,含有参数的方程用分类讨论思想解题是最佳的途径,可避免解题过程中因考虑不周全而出现失误.

应用于实际问题中

数学学习的最终目的在于为生活实际服务. 怎样利用所学的数学知识解决生活实际问题对于初中阶段的学生来说有一定难度,将抽象的数学转化为实际问题需要从多角度全面地思考问题. 学生的障碍主要表现在方案的选择上,而分类讨论思想对解决此类问题有很大的帮助.

案例3  电吹风生产厂家有两种型号的电吹风,A种定价为200元,B种定价为40元,受疫情影响,厂家决定开展一次促销活动来促进消费,经讨论后形成两套促销方案:第一种,买A送B;第二种,A,B两种电吹风都打9折,但两种促销方案只能选择一种. 一位经销商计划购买20个A种电吹风和若干个B种电吹风(超过20个),请问他应该选择哪种促销方案更划算?

分析  哪种方案更省钱跟购买电吹风的数量有关系,因为B种电吹风的数量是未知的,可将B种电吹风的数量假设为x个.

采用方案一所需的费用为:200×20+(x-20)×40=40x+3200(元);

采用方案二所需的费用为:(200×20+40x)×0.9=36x+3600(元).

哪种方案更划算一些,可进行分类讨论:

若方案一划算,40x+3200<36x+3600,解得20

若方案二划算,40x+3200>36x+3600,解得x>100.

问题在分类讨论中迎刃而解.

总之,分类讨论思想在数学中运用较多,师生只有从思想上和行动上都高度重视这种解题思想,将它贯彻落实到各类解题中,通过反复训练,才能运用自如. 用分类讨论思想驱动数学解题,不仅表现在数学思维能力的提升,更表现在数学核心素养的提高.