求平面法向量的策略

2020-09-12 14:08:20 广西教育·B版 2020年5期

汪朝宽

【摘 要】本文阐明方程组法和截距法两种法向量的求法,以例讲解求平面法向量的三种策略,说明具体的解法,提出求法向量的五个要点。

【关键词】空间向量 法向量 方程组法 截距法

【中图分类号】G  【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889(2020)05B-0119-02

在高考中,立体几何的考查往往是两个小题和一个大题,共 22 分,而且大题都是属于中低档题目,考生务必拿到满分。其中,理科的大题一般第一问是证明线线关系或者线面关系,第二问是求线面角或者二面角。从近几年的高考题来看,考查的方向都是要求学生利用空间向量来解答第二问。而在求平面法向量当中,不少考生解法不对,导致该题拿不到满分。下面谈一谈求平面法向量的策略,这个策略既快速又不容易错,值得借鉴。

一、法向量的求法

(一)方程组法

利用法向量与平面垂直的判定定理,在平面内任取两个不共线向量。由于法向量与它们垂直,可构造一個三元一次方程组。

(二)截距法

若该平面在 x,y,z 轴的截距分别为 a,b,c(abc≠0),则法向量为 (在高考解答中不能直接用)。证明如下:

〖证明〗如图 1,A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c),则 =(-a,b,0),=(0,-b,c)

设平面 ABC 的法向量为 =(x,y,z),则

,取,则。

二、举例分析

〖例 1〗(2017 年全国Ⅰ卷理科 18)如图 2,在四棱锥 P-ABCD 中,AB∥CD,且 ∠BAP=∠CDP=90°。

(Ⅰ)证明:平面 PAB⊥平面 PAD;

(Ⅱ)若 PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求二面角 A-PB-C 的余弦值。

〖解〗(Ⅰ)略

(Ⅱ)取 AD 中点为 O,BC 中点为 E,连接 PO,EO,如图 3 所示。

∵ AB∥CD,且 AB=CD,四边形 ABCD 是平行四边形

∴  AB∥OE,且 AB=OE

由(Ⅰ)知 AB⊥平面 PAD,知 OE⊥平面 PAD,OE⊥AD,OE⊥PO;

又∵ PA=PD

∴ PO⊥AD

即 OA,OE,OP 两两垂直。

以 OA,OE,OP 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系 O-xyz,设 PA=2,则

设平面 PAB 的法向量为 =(x,y,z),则

(说明:选择 ,能使方程组容易计算。策略 1:列方程组时尽量选择与坐标轴平行或者在坐标面内的向量,这种向量的坐标有 0,方程组好解。也可以列好方程后不解,用截距法来求该法向量,然后直接写上去,平面 PAB 在 x 轴和 z 轴上的截距为  和 ,与 y 轴平行,截距为 +∞,所以法向量为 ,可取 。策略 2:列方程组求法向量时,可以列好方程后,利用截距法来求法向量,确保不会错)

同理可得平面 PBC 的法向量为 。

(说明:第二个平面的法向量可以写“同理可得”,用截距法来求,平面 PBC 在 y 轴和 z 轴上的截距为 2 和 ,与 x 轴平行,截距为 +∞,所以法向量为 ,可取 ,让向量的坐标为整数,确保两个法向量一进一出。策略 3:第二个平面的法向量可以写“同理可得”,用截距法来求)

设二面角 A-PB-C 的大小为 θ,则

故二面角 A-PB-C 的余弦值为 。

〖例 2〗(2017 年全国Ⅲ卷理科 19)如图 4,四面体 ABCD 中,△ABC 是正三角形,△ACD 是直角三角形,∠ABD=∠CBD ,AB=BD。

(Ⅰ)证明:平面 ACD⊥平面 ABC;

(Ⅱ)过 AC 的平面交 BD 于点 E,若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分,求二面角 D-AE-C 的余弦值。

〖解〗(Ⅰ)略

(Ⅱ)由题知 VD-ACE=VB-ACE,所以 D 到平面 ACE 的距离与 B 到平面 ACE 的距离相等,故 E 是 BD 的中点。

由(Ⅰ)知 OA,OC,OD 两两垂直,以 OA,OB,OD 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系 O-xyz。

设 ,则

设平面 ACE 的法向量为  =(x,y,z),则

(说明:列方程组可选择 ,但是  不在坐标面内,向量的坐标没有 0,而  在平面 yOz 面内,所以选择向量时不一定选择这三点连线的边界。平面 ACE 经过原点,在 x,y,z 轴上的截距有 0,0 的倒数不存在,所以平面 ACE 的法向量不能用截距法来求。策略 4:经过原点的平面只能用方程组来求法向量,不能用截距法来求)

同理可得平面 ADE 的法向量为 。

(说明:平面 ADE 的法向量就是平面 ADB 的法向量,在 x,y,z 轴上的截距分别为 ,所以法向量为 ,可取 ,让向量的坐标为整数,确保两个法向量一进一出)

设二面角 D-AE-C 的大小为 θ,则

三、求法向量的五个要点

1.列方程组时尽量选择与坐标轴平行或者在坐标面内的向量,这种向量的坐标有 0,方程组好解;

2.法向量的坐标取整数,方便计算;

3.列方程组求法向量时,可以列好方程后,利用截距法来求法向量,确保不会错;

4.第二个平面的法向量可以写“同理可得”,用截距法来求;

5.如果一个平面过原点,那么该平面的法向量用方程组来求,另一个用截距法求。

(责编 卢建龙)