精彩源于变式研究　素养成于专题复习

简璐

【摘 要】本文阐述一题多解教学的主要形式，认为一题多解是教学生学会解题的重要途径，是培养数学运算、逻辑推理、数学建模等素养的主要策略，提出教师应该结合高考备考复习的特点和教学要求，以“专题复习+一题多解”教学方式培养学生发散思维、深化思维和路径选择、提炼通性通法的能力，培养和提升学生的数学核心素养。

【关键词】数学 专题复习 一题多解 例题选择 核心素养

【中图分类号】G  【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2020）05B-0153-04

数学大师波利亚在《怎样解题》一书中指出，完整的数学解题可分四步：第一步，理解题目;第二步，拟订方案;第三步，执行方案;第四步，解题回顾。从中不难看出，大师的眼里，作为一名数学解题者不仅要善于解题，而且要善于挖掘数学解题中的教育功能。解题，作为数学教学活动过程中的核心内容，它既是推进数学认知过程的有效手段，又是核心素养培育的重要途径。笔者将引领学生循着大师的足迹，合理联想，从问题的实质出发，探寻一般性的解决方法。

在高考备考阶段，专题复习是突破重点难点，有的放矢解决问题，帮助学生构建完善知识体系的重要策略。“一题多解”教学是变式教学的主要形式，是教学生学会解题的重要途径，是培养数学运算、逻辑推理、数学建模等素养的主要策略。学生经过两年的高中学习，已经具备开展一题多解变式教学的知识储备和方法积累，掌握了高中阶段主要的知识内容和思想方法，在平时的自主解题中基本可以用一至两种解题方法。因此，笔者结合高考备考复习的特点和教学要求，以“一题多解”教学培养学生发散思维，深化思维和路径选择，提炼通性通法等，这是高三数学专题复习必不可少的教学手段。一般来说，在复习课中实施“一题多解+专题复习”模式，能有效地整合和提升学生的核心素养，取得良好的效果。

一、用一個题涵盖一个专题复习的主要方法，提升学生的数学运算素养

数学运算素养是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养。运算求解能力考查的重点是学生确认问题或情境的数学特征及关键变量，利用恰当的变量与符号对问题情境进行数学表征的能力。寻找合理的运算途径，培养建立求解模型的思维品质。

〖例 1〗（2017 年全国 Ⅲ 卷 17 题）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sinA+cosA=0，，b=2。

（1）求 c;

（2）设 D 为 BC 边上一点，且 AD⊥AC，求 △ABD 的面积。

〖试题分析〗

该题设清晰，问法自然，难度适中。第（1）问前半段，求角 A 方法相对简单，由简单的三角方程求出 。第（1）问后半段，求边长 c，方法不多。在△ABC 中，，所以 ，则 c2+2c-24=0  c=-6（舍去），c=4。第（2）问添加了一个垂直条件，成为常见的“爪”字形三角形问题，题目中出现了 3 个三角形，解法立刻丰富起来。而解决问题的核心是求 AD，或明确 D 的位置。有多种解法。

〖解法评析〗

[解法 1]采用三角形中已知三边，求出 ;在 Rt△ACD 中，由 ，求出 ，则面积  。运用特殊的直角三角形求边求面积。

[解法 2]采用构造直角三角形的方法，设未知数，建立方程，求出 AD。过点 B 作 BE⊥CA 交 CA 延长线于点 E，设 AE=x，则 AB=2x，，在 Rt△CBE 中，由勾股定理得到关于 x 的一元二次方程，解出 x=-3（舍去），x=2，c=AB=2x=4。由数据发现点 D 是线段 BC 的中点，，面积可求。

[解法 3]作垂直，通过图形的性质，即三角形全等（△BDF  △ACD）得 D 为中点，解出 AD，面积可求。

[解法 4]直接观察数据 ，发现点 D 是线段 BC 的中点，则 。

[解法 5]因为 AD⊥AC，以点 A 为原点建立平面直角坐标系 A-xyz，则 A（0，0），C（2，0），B（-2，），E（-2，0）（E 为过点 B 作 BE⊥CA 交 CA  延长线于点 E），故点 A 为 EC 中点;又 AD∥BE，点 D 为 BC 中点，所以 D（0，），面积可求。通过构造平面直角坐标系，由点的坐标求解。

〖小结〗这是高三“解斜三角形”专题复习选用的一个例题。通过一题多解教学，使学生的计算素养形成三个层面的提升：第一层面是运用正余弦定理求边求角，应用三角形的面积公式求面积。当学生达到这个能力层面时，就可以顺利完成解答题的第 1 问，也说明学生具备了基本的计算素养。第二层面是善于构造直角三角形，或利用图形的平面几何特性（包括建立平面直角坐标系，用坐标或平面向量解题），培养学生数学推理、直观想象、选择合理的计算路径的能力。第三层面是能够从数学模型的高度决定问题解决的方法。“爪”字形是解斜三角形专题中的典型模型。从数学模型的高度去解决问题，可以实现解题规划性、程序性、准确性的高度统一。从统整核心素养的培育角度看，这一道题综合考查了学生的数学运算、逻辑推理、数学建模等素养，以及函数与方程的思想、数形结合思想、转化与化归思想。另外，此题中解法 4 直接用直观想象、凑数的方法解决，体现了良好的“数感”，这可极大地减少计算量。这是非常好的教学素材，具有极高的教育价值。

二、用一个题席卷一个专题复习的核心内容，提升学生的逻辑推理素养

逻辑推理是学生必备的数学核心素养之一，几何解题教学应重视发展学生逻辑推理能力。逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养。推理论证能力考查的重点是运用逻辑推理的基本形式提出和论证命题、理解事物之间的关联、把握知识框架的能力;会用类比、归纳和演绎进行推理，能合乎逻辑地、有条理地表达的思维品质。

〖例 2〗（2019 年全国Ⅲ卷 19 题）图 1 是由矩形 ABED，Rt△ABC 和菱形 BFGC 组成的一个平面图形，其中 AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°。将其沿 AB，BC 折起使得 BE 与 BF 重合，连结 DG，如图 2。

（1）证明：图 2 中的 A，C，G，D 四点共面，且平面 ABC⊥平面 BCGE;

（2）求图 2 中的二面角 B-CG-A 的大小。

〖试题分析〗

该题题设清晰，问法新颖，是翻折问题，注意翻折前后量的变化。第一问第一段证明 A，C，G，D 四点共面，有两种方法。解法 1 转化为由平行判定共面的问题，得 AD∥CG，则 A，C，G，D 四点共面。解法 2 转化为向量相等，即 ，则ACGD 是平行四边形，从而判定四点共面。第一问第二段证明平面 ABC⊥平面 BCGE，解决途径较为单一，通过证明 AB⊥面 BCGE，从而证明平面 ABC⊥平面 BCGE，即由线线垂直得线面垂直，再得面面垂直。第二问求角，解决这一问题可以用传统法或向量法，而坐标原点选择不一样又产生多种解法。

〖解法评析〗

[解法 1]作垂线 EO⊥BC，垂足为 O，依题意判断 O 为 BC 中点，由面面垂直得线面垂直 EO⊥面 ABC;或者因为△EBC 为等边三角形，取 BC 中点为 O，亦可证得线面垂直。以点 O 为原点建坐标系，下一个关键点是点 G 的坐标，即 G（2，0，），面 ACGD 的法向量 （*），顺利得解。

[解法 2]过点 B 作 BK⊥面 ABC，垂足为 B，则以点 B 为原点建坐标系，得 G（3，0，），面 ACGD 的法向量与（*）同，得解。

[解法 3]将三棱柱补成平行六面体 ABCP-DEGQ，底面补成矩形，以点 P 为原点建坐标系，则 G（-1，1，），面 ACGD 的法向量 ，得解。当然，从理论上讲还可以以点 A 为原点建坐标系求解，但计算繁琐，略去。

[解法 4]是传统法，通过“作-证-求”将二面角（空间角）转化为平面角，过点 D 作 DR⊥GC，R 为垂足，连接 ER，ER 是斜线 DR 在面 BCGE 上的射影，所以 GC⊥ER。在 Rt△DER 中，∠DRE 是二面角 B-CG-A 的平面角，在三角形中求解，简便易算。

[解法 5]也是传统法，因为面 BCGE 是面 ACGD 的射影平面，用图形面积与其射影面积的关系求解，即设二面角 B-CG-A 的平面角为 θ，因为 SACGD·cosθ=SBCGE，所以 cosθ 易求得解。此法不需要作二面角的平面角，也是非常好的方法。

〖小结〗这是高三“空间几何体的位置关系”专题复习选用的一个例题。本题的一题多解使学生在逻辑推理、直观想象、数学运算三方面都有所提升。首先，学生的直观想象素养在几何学范畴得到较好的提升。其次，学生的逻辑推理素养实现三个层次的提升。第一层次是空间线线、线面、面面之间平行关系的推理，平行关系最终回归到平面关系。第二层次是空间线线、线面、面面之间垂直关系的推理，关键是相互之间的转化和过渡。第三层次是传统的“作—证—求”，将空间问题平面化，从定义出发进行推证，是典型的演绎推理过程，将逻辑推理素养和直观想象素养的培育提升到较高的水平。同时，一题多解的教学方法帮助学生全面复习向量法、补形法、传统法、射影法等，为学生构建完整的知识体系奠定坚实的基础。最后，向量法中分别以点 O，B，P，A 为坐标原点，通过比对，选择计算量小，关系简单的建坐标系方法进行计算，是数学运算素养培育的重要方向。特别的，当点的坐标求解困难时，可运用向量运算进行转化。例如，，由此求出点 G 的坐标。向量运算是高中数学运算素养培育的重要内容，也是其他运算不能替代的重要内容。纵观整个解决问题的过程，此题包含了空间几何体专题复习的几乎全部核心知识点和主要方法。将知识糅合在一起，让人体会到核心素养是一个有機整体，各素养之间高度融合、协调发展。这一题是考查学生综合能力的良好素材。

三、用一个题总结一个专题复习的通性通法，提升学生的模型素养

2017 年版的课程标准提出的核心素养增加了数学建模素养，指明未来高中数学教育前进的方向是致力于数学应用与实践，以此支撑其他学科领域的研究。数学建模是对现实问题或事件进行的一种数学抽象，它用数学语言表达问题，用数学方法建构模型解决问题。它有三个阶段：抽象→数学表达→ 建模（解决问题）。根据教学改革的实际，笔者认为培养学生的模型素养是当务之急，也是可行之策。即对已有的数学概念，能梳理其本质属性，总结通性通法，构建模型，并解决此数学概念的相关问题。

〖例 3〗（2016 年高考天津卷·理科）已知 △ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D，E 分别是边 AB，BC 的中点，连接 DE 并延长到点 F，使得 DE=2EF，则   的值为（   ）

〖试题分析〗

该题是以特殊三角形为背景，考查平面向量相关知识的选择题。从平面向量的基本概念出发，综合考查平面向量的运算。问题直接设置为向量与向量的数量积，但平面向量的加、减，实数与向量的积，向量与向量的数量积四种运算都涉及，是一个精巧的小题。同时，本题也综合考查了数形结合、化归与转化的数学思想。

〖解法评析〗

[解法 1]依题意将  进行分解，变为可求的数量积 （向量保持乘法分配律），又 ，。此法为定义法。

[解法 2]设基底 ，

且 ，

将  用基底线性表示

，

此法为基底法。

[解法 3]采用平面直角坐标系解题。以点 E 为原点，EC 为 x 轴建坐标系，则

。

此法为坐标法。

〖小结〗这是高三“平面向量”专题复习选用的一个例题。本题的一题多解总结了平面向量问题的通性通法，即“分解—基底—坐标化”。高中数学平面向量的知识内容较少，但应用广泛，是学生学习的难点，在各类考试中得分率低。究其原因是学生因为没有抓住本质。向量的本质是一种运算，向量可以进行分解，其实质是向量的加法和减法。但是分解后的相关运算可能会比较复杂，或者因为选择多样而产生障碍。由此可选择一组不共线的向量构成基底，在平面内任意向量均能用这组基底进行线性表示。表示的过程也是分解的过程，不同的人分解路径会不一样，有多样性，但结果是一样的。另外，基底不同，当然线性表示的结果也不同，但是问题最终的结果是固定的。例如本题的数量积，使用不同的基底， 的结果会不同，但是两者的数量积是相同的都是答案 B。向量是一种运算，还体现在向量可以放到坐标系中进行运算。向量有坐标运算，实现了一个矢量与一组有序数对的对应关系，实现了几何问题代数化。正是向量的多变性、多样性、灵活性，使向量具有良好的模型化特点，即所有平面向量的问题，用“分解—基底—坐标化”这七个字就能迎刃而解。因此，专题复习梳理通性通法是培养学生模型素养的重要途径。如果附加上数学知识与实际问题的关联，那么就完成了数学建模。向量在物理学中表示的是矢量，比如力，是否可以这样认为，学生解决力学问题，就是在进行数学建模，在培养数学建模素养。

四、“专题复习+一题多解”教学的课堂实施策略

（一）以学生为主体的课堂是提升素养的重要保证

高三专题复习阶段的一题多解教学要真正起作用，课堂 40 分钟要由学生主讲。因为此阶段的学生具有迫切整合知识以使达到熟练应用的学习目标和较强的学习能力，所以“把课堂还给学生”既是教学理念，也是学习方法。学生通过课前充分准备、课堂完美展现、课后领悟升华三个环节，至少能实现三个目标：一是对概念、定理的理解更准确、更深入;二是对数学方法的应用和表达更成熟、更完善;三是对解决问题能力的培养更全面、更有效。众所周知，解决问题需要统整核心素养，而统整的过程一定是内化的过程，是反复琢磨直到清晰可见、熟练掌控的过程。这就需要教师搭建自主课堂的平台，学生通过自主钻研、积极分享、合作互助，使学科知识板块化，使考纲考点明确化，实现学习自主化。学生通过专题复习，将概念、定理串成串，构建知识体系;使通性通法成形，指导解题流程;使能力素养成长，提升思维程度。

（二）以真题为主的例题选择是保证课堂效果的点睛之笔

一题多解的例题选择要精挑细选，这样才能使人回味无穷，因此宁缺毋滥。“多解”中的众多方法应该是源头不同的，或思想方法不同的，或所属知识板块不同的。解法的多样化一定立足于思维角度和方法，而不仅仅是形式上的多。在这方面可以选择历年高考真题，它有很好的教学价值。它重视考查学生基本数学思维的应用能力，统整数学核心素养的综合培养情况，强调数学阅读与表达，考查典型问题的内在价值和迁移功能，突出问题的灵活性、创新性，故而常常伴有“一题多解”。因此，笔者提倡一节专题复习课的例题一定要有高考真题。在课中，教师和学生都要从多个角度考虑解决问题的方法，理解并体会能力培养的过程，明确各素养整合的终极目标。但也可以是真题的变形，通过转变问题、条件、内容、情境创设等要素，帮助学生发现学科本质。这不仅能够帮助学生解决高考试题，而且能够使学生领悟学科培养的高度，为进一步学习打下坚实的基础。

（三）以变式巩固为课后作业是素养养成的重要过程

一题多解的课堂内容是丰富的、充实的，同时也是充满挑战的。如果要加深理解，夯实所学，那么教师就要通过课后变式巩固来检验和落实。变式巩固题的选择可以遵循以下几点：（1）形式類同，但内容更广或思维培养要求更高;（2）试题有梯度，是由易到难，层层深入;（3）紧扣主题，体现数学本质;（4）题目少而精，解法多样;（5）新颖有亮点，考验学生眼光。笔者认为，素养的养成过程一定是学生的自主探究和深入思考的过程，一定是在解决问题时各素养综合作用形成合力的过程。因此在高考备考专题复习的阶段，教师的智慧不是体现在讲课方面，而是体现在选择什么题目，也就是说，选择用什么样的问题抛给学生，然后留出足够的时间和空间让学生用于“悟”，引领学生走向“道”。

数学解题方法林林总总，在教学中介绍方法只是手段，目标是指向素养的形成及能力的提高。笔者认为，一题多解教学能促进学生养成思考、讨论的习惯，是培养学生思维的全面性、严谨性、多样性、创新性的重要途径。在高三专题复习的特定阶段，自觉地“探寻变式研究”并在教学内容上发展创新，树立核心素养观念，“为发展核心素养而教”。这应是教师当前复习教学的努力方向，也是能力和素养综合提升的有效手段，是教育发展的正确方向。

【参考文献】

[1]小平邦彦.惰者集——数感与数学[M].北京：人民邮电出版社，2017.

[2]李正兴.高中数学解题方法全书[M].上海：上海社会科学院出版 社，2018.

[3]钟志华，李 渺.基于变式教学的数学教学设计[J].数学通报，2019（5）.

[4]宗火祥.问题驱动思维 思维成就素养[J].中学数学教学参考（上旬），2019（5）.

【基金项目】本文系广西壮族自治区教育科学“十三五”规划2019年度课题“基于大数据的高中数学核心素养提升的策略研究”（编号：2019B140）的阶段性成果。

（责编 卢建龙）