一类四次系统的细中心和局部临界周期分支

古结平 廖笑照 陆丽萍

摘 要： 探讨了一类四次多项式微分系统的细中心和局部临界周期分支问题。首先运用复变换将实系统转换为对应的伴随复系统，而后针对伴随复系统建立原点的周期常数递推公式。利用得到的递推公式来编写程序，在中心条件下计算该系统的前几个周期常数，得到该系统原点成为m（m=0，1，2）阶细中心的条件，证明了该系统原点最多有2个局部临界周期分支。

关键词： 四次多项式系统;周期常数;细中心;临界周期分支

中图分类号：O175.12  文献标识码：A

Weak Centers and Local Bifurcation of Critical Periods for a Quartic System

Gu Jieping Liao Xiaozhao Lu Liping

School of Mathematics and Statistics，Guangxi Normal University GuangxiGuilin 541006

Abstract： The weak centers and local bifurcation of critical periods for a quartic polynomial differential system are investigated.Firstly，the real system is transformed into the corresponding accompany complex system by using complex transformation，and then the recursion formulas of periodic constant is established for the origin of accompany complex system.Using the recursion formulas，the program is written，and the first three periods constant are calculated under the center condition.The condition that the origin of the system becomes the weak center of m（m=0，1，2）order is obtained.It is proved that the origin of the system has at most two local bifurcation of critical periods.

Key words： quartic polynomial differential system;periods constant;weak center;bifurcation of critical periods

1989年，Chicone和Jacobs[1]类比Bautin研究极限环的方法，引入细中心和局部临界周期分支概念，建立局部临界周期分支理论，在该文中还研究了二次Bautins系统和一类Hamiltonian系统的局部临界周期分支问题。三十多年来，这一领域特别是系统从细中心最多能分支出几个局部临界周期的问题吸引了大量研究者的兴趣。例如，文献[2]中研究了一类三次约化Kukles系统在非退化中心邻域的局部临界周期分支问题，得到从有限阶Christopher-Lloyd中心最多能分支出3个局部临界周期，从线性等时中心最多能分支出2个局部临界周期以及从非线性等时中心最多能分支出1个局部临界周期。文献[3]中研究了一类带有三次阻尼项的Liénard方程在非退化中心邻域的局部临界周期分支，证明得到从有限阶细中心和线性等时中心最多能分支出2个局部临界周期，从非线性等时中心最多能分支出1个局部临界周期。文献[4]考虑了一类三次Kolmogorov系统的局部临界周期分支问题，得到该系统从原点最多能分支出2个局部临界周期。文献[5]证明了一类三次广义Riccati系统从细中心最多能分支出3个局部临界周期。

最近，文献[6]研究了如下四次多项式微分系统的中心条件和小振幅极限环分支问题，计算出了该系统原点的前8个焦点量，得到原点成为中心的充分必要条件以及从原点最多可分支出8个小振幅极限环的结果。

由上述定理，我们有：

定理 2.3 对于系统的参数λ*，若λ*∈K0，则没有局部临界周期从系统的原点分支出来;若λ*∈Km（m=1，2），则至多有m个局部临界周期从系统的原点分支出来;此外，对任意正整数n（0

SymbolcB@ n

SymbolcB@ m），恰好有n个局部临界周期从系统的原点分支出来。

证 由引理1.1可知，定理2.3的前半部分结论是显然的。对于后半部分结论，我们只证明n=2的情形，即证周期常数P2，P4在参数λ*∈K2关于P6是无关的。其余情形证明方法类似。

当B31≠-1，A12=-B21=1/（1+B31），A21=-B12，A31=0，μ=0时，由式得P2=-2πB12，P4=- 2πB31 （1+B31）2 ，P6=4π。

取λ*∈K2，即λ*=（A12，A21，A31，B12，B21，B31，μ）=（1，0，0，0，-1，0，0）V（P2，P4），在λ*的任一邻域U，存在λ1=（ 1 1+ε1 ，0，0，0，- 1 1+ε1 ，ε1，0）∈UV（P2），其中ε1>0充分小，使得P4（λ1）P6（λ1）=- 8ε1π2 （1+ε1）2 <0，即滿足定义1.3的条件（1）和（2）。再取λ2=（ 1 1+ε2 ，0，0，0，- 1 1+ε2 ，ε2，0）∈V（P2）且P4（λ2）≠0，其中ε2>0，在参数λ2的任一邻域W，存在λ3=（ 1 1+ε2 ，δ，0，-δ，- 1 1+ε2 ，ε2，0）∈W，这里δ>0充分小，使得P2（λ3）P4（λ2）=- 4δε2π2 （1+ε2）2 <0，即满足定义1.3的条件（3）。

综上过程，满足定义1.3的条件，故P2，P4在λ*∈K2关于P6是无关的。由引理1.1可知，系统恰好有2个局部临界周期从原点分支出来。

参考文献：

[1]Chicone C，Jacobs M.Bifurcation of critical periods for plane vector fields[J].Transactions of the American Mathematical Society，1989，312.

[2]Rousseau C，Toni B.Local bifurcations of critical periods in the reduced Kukles system[J].Canadian Journal of Mathematics，1997，49（02）：338-358.

[3]Zou L，Chen X，Zhang W.Local bifurcations of critical periods for cubic Liénard equations with cubic damping[J].Journal of Computational & Applied Mathematics，2008，222（2）：404-410.

[4]Chen X，Huang W，Romanovski V G，et al.Linearizability and local bifurcation of critical periods in a cubic Kolmogorov system[J].Journal of Computational and Applied Mathematics，2013，245（1）：86-96.

[5]Romanovski V G，Fernandes W，Tang Y，et al.Linearizability and critical period bifurcations of a generalized Riccati system[J].Nonlinear Dynamics，2017.

[6]赵大虎，卢景苹.一类四次多项式系统原点的中心条件与极限环分支[J].黑龙江大学自然科学学报，2012，29（6）：767-770.

[7]LIU Yirong，HUANG Wentao.A new method to determine isochronous center conditions for polynomial differential systems[J].Bulletin des Sciences Mathématiques，2003，127（2）：133-148.

[8]LIU Yirong，LI Jibin.Theory of values of singular point in complex autonomous differential system[J].Science in China，Ser.A，1990，7136（1）713632-713632-10.

[9]黃文韬.微分自治系统的几类极限环分支与等时中心问题[D].中南大学，2004.

[10]Chen T，Huang W T，Ma W C.Weak centers and local bifurcation of critical periods for a cubic system[J].Zhongbei Daxue Xuebao，2014，35（5）：499-503.

基金项目： 广西研究生教育创新计划项目（YCSW2020105）

*通讯作者： 古结平（1996—），男，广西南宁人，硕士。