初中二次函数动点问题解题策略研究

2020-09-12 14:15:30 数学教学通讯·初中版 2020年7期

黄湖

[摘  要] 近几年,二次函数与动点相结合的试题是中考中的重要题型. 因为该类型的题目通常需要将二次函数与其他数学知识相结合,并且动点问题与不动点问题相比,需要考虑的方面更多,所以很多学生无法正确解答,这是现阶段初中数学二次函数教学中一个十分常见的现象. 基于此,文章立足于数学教学的角度,分析了二次函数动点问题的解决方法,希望以下内容的研究具有一定参考价值.

[关键词] 初中数学;二次函数;动点问题;解题方法

《义务教育数学课程标准(2011版)》中对数学教学提出了新的要求,在原有基础知识以及基础技能教学之上,又需要数学教师完成学生的数学思想及生活经验教学,而如何通过数学知识以及教学活动完成上述教学目标成为广大一线教师必须考虑的问题之一. 本文主要立足于二次函数知识,对较为典型的动点问题案例进行剖析,以求可以达到新课程标准的教学要求.

精心选题,相机引导

例题教学一直都是初中数学教师常用的一种重要教学方法,尤其是对于二次函数知识的讲解有着重要辅助作用. 而为了保证教学质量,教师需要在课程开始之前做好例题的筛选,保证讲解的例题具有代表性,同时,如果现有例题尚未达到教学要求,教师可以根据教学需求对例题进行适当改编,这也是一个优秀教师需要具备的技能之一. 就目前的教学情况而言,例题的优劣显然会成为决定课堂教学质量的重要因素之一.

例题  如图1,现有一直线与直角坐标系交点为点A、点B,并与O点构成△ABO. 直线可以表示为“y=- x+1 ”. 之后以O点为圆点,转动△ABO形成△CDO,此时点A,C,D都在抛物线“y=ax2+bx+c ”上,试求出以下问题答案.

(1)确定点A,B,C,D的准确坐标参数;

(2)求解二次函数表达式;

(3)在直线BG(G为抛物线顶点)上是否存在一点F,构成△ABF与△CDO相似,并且说明理由.

解:(1)根据图形情况可以确定上述四点具体坐标.

(2)在确定A,C,D坐标之后,二次函数表达式呼之欲出,y=-x2+2x+3.

(3)如图2所示,我们首先以顶点G为基准,向直角坐标系y轴作垂线,这样就得到了点H,那么根据直角坐标系坐标以及勾股定理就可以知晓,GH=OB,BH=OA,GB=AB,所以∠GBA是一个直角,那么上述问题最终可以转化为证明 = 或 = . 因此具体的解决方法将会有以下两种情况.

①首先证明 = 的情况. 除了BF长度未知,其他线段长度均可以通过直角坐标计算得出,因此BF的最终长度应该是 . 那么我们以F为基准点,同样向y轴作垂线,得出点N,此时将会有 = ,如果我们将点F的坐标设定为(x,y),那么NF=x= ,所以最终F点的坐标分为两种情况,分别为 ,2,- ,0.

②接着证明 = 的情况,证明方法相同,此时的F点我们称之为F ,因为BF=3,所以F 坐标为(3,10).

得到的三种情况的F点坐标便是两个三角形相似的所有可能性.

解析  上述例题其实是一个十分典型的二次函数动点综合问题,题干及问题简单整洁,但是所考查的知识内容十分全面,不仅包含直角坐标系、二次函数,还包含图形旋转以及三角形. 想要正确解答上述例题,要求学生具备完善的数学思想,如数形结合及方程思想等. 三个问题相互关联且层层递进,第三个问题中的动点问题为学生与教师的研究、交流提供了稳定平台.

点睛  对上述例题内容进行分析可以发现,考查的主要内容集中于第三个问题,而面对动点存在与否,学生需要抓住一个关键点就是“找”. 简单而言,学生首先需要确定的是动点是否存在,确定之后还要分析动点存在几个,这其中需要学生合理应用定理以及公式,完成推断并假设. 通常情况下,可以将上述整个流程确定为以下几个步骤,第一步“设问”、第二步“寻找”、第三步“验证”,这也是学生解题最为清晰的一种思路.

变式追问,互动生成

数学教学不单单是让学生得出最终答案,最为主要的是让学生“吃透”一类题型的特点以及原理,只有这样学生在解决问题时才能得心应手,并且做到举一反三. 而为达到上述目的,笔者认为教师可以采用“变式追问”的方法深化学生理解,提高学生认知. 笔者对例题的第三个问题进行改编,以求达到“变式追问”的目的.

1. 探究面积问题

变式1  如图3,在抛物线上有一动点M,并且这一动点仅存在于直角坐标系的第一象限内,那么当M在哪个位置时,以M,A,C为顶点的三角形面积最大?并且确定最大面积为多少.

首先我们对问题进行分析,有一动点M仅存在于第一象限内,并且需要求得与这一动点相关的三角形最大面积,因此应该确定M的坐标,此时我们姑且设定其坐标为(m,n),根据二次函数方程可以得出“n=-m2+2m+3”. 我们以M点为基点,向x轴作垂线,交线段AC于点G,交x轴于点H,那么解题方法可以有以下两种.

方法1:如图3所示,我们可以将目标三角形的面积表示为两个三角形面积的和,也就是△CMG以及△AMG的面积和. 那么S = MG·OH+ MG·AH,这样问题就迎刃而解了.

方法2:我们可以确定直线AC的函数方程,想要M点与A点、C点构成的三角形面积最大,就需要过M点的抛物线切线与AC相互平行,设定平行时的M点抛物线切线交y轴于点N,那么直线MN的函数方程则可以表示为y=-x+b,这样可以确定x2-3x+b-2=0,b的最终结果为 ,这样面積以及点坐标的求解就可以简单完成.

2. 探究特殊三角形

变式2  在抛物线的对称轴之上有一个动点P,那么什么情况下,以P,C,D为顶点的三角形为等腰三角形?

根据二次函数基本性质,我们可以直接确定抛物线对称轴的横坐标,也就是“- =1”. 因此P点的坐标可以确定为(1,x),所以PD2,PC2,DC2都可以应用代数式进行表示,并且有PD2=x2+4,PC2=x2-6x+10,DC2=10. 因为是动点,所以存在以下几种情况:

①如果PD与PC是三角形的两个腰,那么就会有PD2=PC2,最终确定x的值为1.

②如果PD与DC是三角形的两个腰,同样成立PD2=DC2,最终确定x的值为± .

③如果PC与DC是三角形的两个腰,同样成立PC2=DC2,最终确定x的值为0或6,但是当x数值等于6时,三点无法构成一个三角形,所以该结果不成立.

所以最终求解的动点P应该有四种可能性.

综上所述,二次函数的动点问题十分具有教学代表性,广大教师不能仅仅将其看作是一种类型题,而是应该基于该种题目,挖掘题目内在的教学作用. 只有这样学生才能独立形成完整的数学思维,进而达到举一反三的效果. 并且教学过程中,教师的引导十分重要,从人文角度出发,教师应该给予学生更多的自信心.