整体视角,等价转换,突破难点

2020-09-12 14:15:30 数学教学通讯·初中版 2020年7期

韩江 过小明

[摘  要] 文章研究了2019年镇江市中考数学第28题. 以线段示意图为始,利用整体视角、等价转换突破难点、悟透问题,并将问题推广到一般情形. 在此题的解决过程中,整体视角和等价转换是突破难点的关键思想方法.

[关键词] 整体视角;等价转换;中考数学

“年年岁岁花相似,岁岁年年人不同. ”每年中考季都会涌现一批形式新颖、构思巧妙、立意高远的优秀试题,这些试题凝聚了各地中考命题专家的智慧和心血,是广大一线数学教师研究数学问题、提升自身修为的优质素材. 笔者最近研究了2019年镇江市中考数学第28题,经历初思陷入迷茫、再思略见曙光、深思拨云见雾的过程,以线段示意图为始,利用整体视角、等价转换突破难点、悟透问题,颇有收获,现与同行分享.

题目呈现

试题?摇 学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动. 在相距150个单位长度的直线跑道AB上,机器人甲从端点A出发,匀速往返于端点A,B之间. 机器人乙同时从端点B出发,以大于甲的速度匀速往返于端点B,A之间. 他们到达端点后立即转身折返,用时忽略不计. 兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况,这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这兩种.

【观察】①观察图1,若这两个机器人第一次迎面相遇时,相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度,则他们第二次迎面相遇时,相遇地点与点A之间的距离为______个单位长度;

②若这两个机器人第一次迎面相遇时,相遇地点与点A之间的距离为40个单位长度,则他们第二次迎面相遇时,相遇地点与点A之间的距离为______个单位长度.

【发现】设这两个机器人第一次迎面相遇时,相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度,他们第二次迎面相遇时,相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度. 兴趣小组成员发现了y与x的函数关系,并画出了部分函数图像(线段OP,不包括点O,如图2).

①a=______;

②分别求出各部分图像对应的函数表达式,并在图2中补全函数图像.

【拓展】设这两个机器人第一次迎面相遇时,相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度,他们第三次迎面相遇时,相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度. 若这两个机器人第三次迎面相遇时,相遇地点与点A之间的距离y不超过60个单位长度,则他们第一次迎面相遇时,相遇地点与点A之间的距离x的取值范围是______. (直接写出结果)

解法分析

本题对学生的阅读理解能力、抽象概括能力、等价转化能力有较高要求,主要考查了一元一次方程、一次函数、一元一次不等式、分类讨论思想等初中数学核心知识与思想方法,具有明显的区分度. 本题的思维起点在“【观察】”,如果我们能够正确理解题意、研究清楚“【观察】”,那么整个问题就可以迎刃而解. 下面,谈一谈笔者对本题的三个层次的思考.

1. 初思,陷入迷茫

初次思考:“【观察】”①问是一个典型的行程问题,主要涉及路程、速度和时间三种量,又有甲、乙两个研究对象,题目情境虽熟悉但探究内容较复杂. 已知A,B两地之间的距离是150个单位长度,第一次迎面相遇的地点与点A相距30个单位长度,甲、乙运动速度与运动时间均未知,求第二次迎面相遇时相遇地点与点A之间的距离.

分析方法:线段示意图.

因为第一次相遇时,相遇地点与点A 相距30个单位长度,所以第一次的相遇地点与点B相距150-30=120个单位长度. 由此可知甲、乙速度之比为1 ∶ 4,即相同时间下,甲、乙路程之比为1 ∶ 4. 设甲的速度为v,则乙的速度为4v. 所以甲从相遇地点到点B所用的时间是 ,乙从相遇地点到点A再返回到点B所用的时间为 = . 又 > ,因此第二次迎面相遇时,甲还未到达点B.?摇?摇?摇?摇?摇

设第二次迎面相遇时相遇点距点A为m个单位长度. 根据“相同时间下,甲、乙路程之比为1 ∶ 4”,并结合图3,得30+150+(150-m)=4(m-30),解得m=90.

用此法亦可得“【观察】”②问m=120. 但如果仍用相同的方法探究“【发现】”和“【拓展】”,显得琐碎又麻烦,笔者此时陷入迷茫,准备再次思考.

2. 再思,略见曙光

再次思考:用具体的速度和时间来考虑“【发现】”问,显得比较“碎”,能否从“整体”的视角来处理该问?因为甲的速度<乙的速度,所以0

从“整体”的视角来处理,“【发现】”问顺利解决. 此时略见曙光,继续思考“【拓展】”问,但用线段示意图探究第三次迎面相遇时甲、乙的路程之和,又略显吃力,笔者继续陷入沉思.

3. 深思,拨云见雾

深入思考:笔者仍然画出线段示意图(如图5). 看到画出的图形以后,笔者脑中突然灵光乍现,这个问题难道不是与环形跑道问题相像吗?由于只考虑迎面相遇,所以这个问题就等价于环形跑道中的相遇问题,于是笔者画出环形跑道示意图(如图6).

根据图6,第一次迎面相遇时,甲、乙的路程之和是150个单位长度;第二次迎面相遇时,甲、乙的路程之和是450个单位长度;第三次迎面相遇时,甲、乙的路程之和是750个单位长度;……;第n次迎面相遇时,甲、乙的路程之和是[150+300(n-1)]个单位长度.

?摇?摇因为750÷150=5,所以第三次迎面相遇的时间是第一次迎面相遇时间的5倍. 因此第三次迎面相遇时,甲所走的路程是5x个单位长度. 因为0

利用环形跑道模型分析问题,抽丝剥茧,拨云见雾,彻底将本题分析透彻.

解后感悟

笔者首先借助线段示意图分析,用常规的方法解决“【观察】”问,再从整体视角优化解法,最后将线段形行程问题等价转化成环形跑道问题,经历陷入迷茫、略见曙光、拨云见雾的心路历程,打通所有关节点,最终顺利完成整个问题的解决,并将问题推广到一般情形,即第n次迎面相遇. 在本题的解决过程中,整体视角和等价转换是突破难点的关键思想方法. 整体思想是一种重要的数学思想方法,教师在平时的教学中要有目的、有意识地引导学生从整体视角分析问题、解决问题,这不仅有助于学生找到解决问题的便捷方法,而且有助于发展学生的思维品质. 在数学问题的探究过程中,经常会遇到陌生的、未知的、复杂的问题,通过等价转换,可以将陌生的化为熟悉的,将未知的化为已知的,将复杂的化为简单的. 可以这样说,数学解题过程就是一个不断等价转换的过程.