关于圆切线的考向例析与探究思考

2020-09-12 14:15:30 数学教学通讯·初中版 2020年7期

顾亚平

[摘  要] 圓切线是初中几何的重点,其性质、定理也是常考知识. 分析近几年的中考试题会发现,中考试题题型灵活,考查知识点多,综合性强,对学生的知识综合运用能力及思维能力有着较高的要求,所以结合考查方法对圆切线内容加以探究有着重要的意义. 文章结合实例对几个圆切线常见考查视角进行探讨,提出相应的建议.

[关键词] 圆切线;考向;性质;判定;三角形;翻折

圆是初中数学的核心图形,含有众多的考点,其中与圆切线相关的定理既是中考考查的重点,又是几何问题突破的关键. 而切线的考查方向及视角较为多样,下面结合实例对圆切线的考向进行探究.

关于圆切线的考向举例

圆切线的概念相对容易理解,但切线背后隐含了几何数量关系和位置关系,由切线所构成的直角更是特殊图形形成的基础. 中考对圆切线的考向较多,其中有如下几个重要方向:圆切线的计算及证明、三角形的内切圆、切线性质的推理与计算.

1. 切线的计算及证明

论证圆切线的关系有多种考查方式,通常有如下两个方向:一是从动点角度命题,直接考证圆运动过程中与直线的交点;二是从量的角度出发,偏重与圆相切时隐含的数量关系. 但无论如何命题,考查切线的判定定理这一本质是不变的,只需要充分结合切线的判定方法来构建思路即可.

例1  (2019年遂宁中考卷)如图1,△ABC内接于⊙O,直径AD交BC于点E,延长AD至点F,使DF=2OD,连接FC并延长交过点A的切线于点G,且满足AG∥BC,连接OC. 若cos∠BAC= ,BC=6.

(1)求证:∠COD=∠BAC;

(2)求⊙O的半径OC的长;

(3)求证:CF是⊙O的切线.

解析  此处主要剖析第(3)问,证明OC⊥GF或∠OCF=90°即可. 直接进行角度推导存在一定的难度,可在图形中提取相似三角形. 已知Rt△COE,若能证明△COE与△FOC相似,即可直接推导出∠OCF=∠OEC=90°,即CF是⊙O的切线,过程如下.

因为DF=2OD,所以OF=3OD=3OC. 所以 = = . 又∠COE=∠FOC,所以△COE∽△FOC. 由相似三角形的性质可得∠OCF=∠OEC=90°. 所以CF是⊙O的切线.

评析  切线的计算及证明,实质就是考查圆相切关系的证明方法. 相切意味着垂直,故可通过角度推导和三角形边长关系分析来加以论证. 该考查方向还可以综合三角形相似、勾股定理、三角形全等等知识.

2. 三角形的内切圆

三角形的内切圆是考查圆切线的另一特殊考向. 三角形的内切圆与三角形的三条边均相切,此时的圆心为三角形的内心. 分析图像可知,圆心到三角形三边的距离相等,深入分析可将其与角平分线的性质相关联,故该考向主要考查三角形内切圆的性质、角平分线的性质等.

例2  (2019年兴化期末卷)如图2,△ABC的周长为20 cm,BC=6 cm,△ABC的内切圆为⊙O,MN是⊙O的切线,MN与AB相交于点M,与CA相交于点N,则△AMN的周长为______.

解析  题干设定△ABC的内切圆为⊙O,则圆心O到△ABC三条边的距离相等. 同时可在图形中提取角平分线,获得相应的全等三角形,进而进行等线段转化,完成△AMN的周长求解,具体如下.

过点O分别作AB,BC,AC和MN的垂线,垂足分别为E,F,D,G,连接BO. 分析可知OF=OE,显然BO为∠FBE的平分线,进而可证△FBO≌△EBO. 由全等性质可得BE=BF. 同理可得CF=CD,DN=NG,EM=GM,AD=AE. 因为△ABC的周长为20 cm,BC=6 cm,所以可推得AE=AD=4. 所以△AMN的周长=AM+AN+MN=AE+AD=8.

评析  三角形的内切圆问题涉及角平分线、三角形全等等知识,利用其中的等角和全等图形可完成等线段转化,因此,其中的周长问题实则就是等线段转化问题. 可见,理解考向的本质是解题突破的关键.

3. 切线性质的推理与计算

切线性质的推理与计算是常见的考查方向,虽考点一般,但其中涉及的知识点较多,通常融合了三角函数,圆周角、圆心角、弧、弦之间的关系,深刻理解切线的性质,充分利用其性质进行关联转化是问题突破的关键.

例3  (2019年成都中考卷)如图3,AB是⊙O的直径,C,D为⊙O上的两点,OC∥BD,弦AD,BC相交于点E.

(1)求证: = ;

(2)若CE=1,EB=3,求⊙O的半径;

(3)在(2)的条件下,过点C作⊙O的切线,交BA的延长线于点P,过点P作PQ∥CB交⊙O于F,Q两点(点F在线段PQ上),求PQ的长.

解析  上述与圆相关的问题涉及证明弧长相等、求圆半径长和求线段长三大问题,分析时需要充分利用圆的性质.

(1)等弧所对的圆周角相等,只需证明∠OBC=∠CBD即可. 由于OC=OB,所以∠OBC=∠OCB. 又OC∥BD,所以∠OCB=∠CBD. 所以∠OBC=∠CBD. 所以 = .

(2)求⊙O的半径可先求直径AB,连接AC,则∠ACB=90°. 分析可知BC=4,△ACE∽△BCA,由相似性质可得 = ,则AC2=CB·CE=4. 所以AC=2. 在Rt△ACB中,由勾股定理可得AB= =2 ,所以⊙O的半径为 .

(3)根据题干信息作图,再过点O作PQ的垂线,垂足为H,如图4. 因为PC是⊙O的切线,所以∠PCO=90°. 所以∠PCA=∠BCO=∠CBO. 又∠CPB=∠CPA,所以△APC∽△CPB. 由相似性质可得PC=2PA,PC2=PA·PB,所以PA= ,PO= . 分析可证△PHO∽△BCA,由相似性质可得 = = ,可解得PH= ,OH= ,所以HQ= = . 所以PQ=PH+HQ= .

评析 上述求证弧长相等及求线段长,考查了切线性质等与圆相关的知识,其中相似三角形的性质、勾股定理是本题思路构建的关键. 因此,对于圆切线的综合性问题,应关注复合图形的特点,充分利用特殊图形及特殊关系来进行线段、角度的转化.

4. 几何翻折与圆切线

几何翻折是初中几何的重点内容,圆切线知识也可与几何翻折联合起来考查. 解析时需要充分理解图形翻折的过程,利用翻折过程中“变”与“不变”的量、圆的切线性质来剖析图形、构建思路.

例4  如图5,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,现将 沿着直线BC进行翻折,恰好 的中点D落在圆心O处. 连接OC,CD,BD,过点C的切线与BA的延长线交于点P,连接AD,于PB的另外一侧作∠MPB=∠ADC.

(1)分析PM与⊙O的位置关系,并简述理由;

(2)若PC= ,试求四边形OCDB的面积.

解析  (1)连接DO并延长交PM于点E. 根据折叠性质可得OC=DC,BO=BD,又BD=CD,所以四边形OBDC为菱形. 由菱形性质可得OD⊥BC. 又OD=OC=OB,所以△OCD和△OBD均为等边三角形. 所以∠COP=∠EOP=60°. 通过证明PM∥BC得到OE⊥PM,进一步推得OE= OP,根据切线的性质可得OC⊥PC,且有OC= OP,故OC=OE,从而可判定PM是⊙O的切线.

(2)在Rt△OPC中,OC= PC=1,所以四边形OCDB的面积=2S =2× ×12= .

评析  本题的翻折背景中涉及圆切线的性质,由切线中的垂直关系来构造图形是突破的关键. 综合考查折叠、圆切线性质、圆周角定理也是中考的重点考向,在复习阶段应重视对几何知识的整合,提升解题的综合能力.

关于圆切线考向的学习建议

1. 挖掘定理,串联定理

圆切线的判定、性质定理虽内容较为简单,但在学习时应深入挖掘定理内涵,理解其中的知识原理,如圆与线段相切中隐含着如下特殊关系:数量关系——圆半径与圆心到切线的距离相等,垂直关系——切线和圆心与切点的连线垂直. 而对于切线判定定理,则应把握其中的条件,包括公共点、垂直关系等. 定理之间并不是独立存在的,学习几何定理时还应联系前后知识加以串联,关注圆切线与角平分线性质、勾股定理、圆周角定理等定理之间的联系,建立完整的定理体系,为后续综合问题的突破奠定基础.

2. 考向综合,技能提升

圆的性质定理是中考的重点,上述例子探讨了圆切线性质定理的主要考向,其中包括基本的相切论证、线长推断,也涉及综合性的三角形与圆内切、翻折与圆切线. 从考查内容来看,涉及相似性质、全等性质、勾股定理、角平分线性质、三角函数、翻折特性等,这些内容是平面几何的核心,因此对于该部分的学习需要立足基础,综合知识,发展思维. 同时,圆切线问题的解决离不开辅助线,合理添加辅助线有助于挖掘圆内特性,有利于解题思路的构建,因此应掌握圆切线问题中辅助线添加的技巧,增强作图能力,促进综合素养的提升.

总之,圆切线的考向较多,充分理解定理、把握知识关联、关注问题类型、总结解题技巧是该内容学习的关键. 另外,圆切线问题的求解中渗透着数学思想,合理利用数形结合、模型思想、转化思想可提高解题效率,故应重视思想方法的学习,综合提升解題能力.