论直观之形在小学数学运算中的运用

张金梅

摘  要：小学生的思维方式受年龄和心理特征的影响，以形象思维占主导。因此，不少学生在遇到抽象的数学概念或运算时，常出现空间想象力缺乏、辨认困难等障碍。而运算是最基本的数学能力之一，教师该如何引导学生以直观之形为基础，逐渐掌握并运用运算定律，形成有序思考问题的习惯呢？文章就这个问题谈一些想法。

关键词：直观之形;运算;思维

数学的直观之形一般指直观可见的内容，具有直观性、形象性等特征，基本归属于经验几何的范疇，以几何与图形的方式呈现。数学运算是小学数学教育的重要内容之一。针对小学生的身心特征和思维方式，怎样利用直观之形协助数学运算的教学，是我们每个专业教师值得思考的问题之一。学生可通过观察、操作直观之形增加感知，然后在此基础上比较、分析并总结，从而掌握运算方法，形成较好的数学思维，这是一个从具体到抽象的过程。

一、数学之形与运算的关系

小学阶段认识整数、分数和小数等知识，无不以运算这条主线贯穿整个过程，而其他的一些内容则是围绕运算这条主线而展开。仔细研读数学教材，会发现编者安排的各部分内容、习题以及思考题等，都尊重了学生的认知发展规律，借助了大量的图形或生活实例让学生通过直观的数学之形更好地掌握运算方法。

1. 借助直观之形，理解运算意义

从发展心理学角度出发，低年级学生以直观形象思维为主，对抽象的运算意义难以理解。对于一二年级的学生来说，乘法的概念过于抽象，凭纯粹的理论，大部分学生难以理解其真正的内涵。若借助直观的数学图形，则能一目了然地看出加法与乘法之间的关系。因此，在一二年级的教材中只安排了整数四则运算的内容。便于学生依托直观生动的实际图形或物体展开思考，通过直观的感知和身临其境的操作将数与数合在一起进行运算。

例1：以“乘法的初步认识”为例（见图1）。

图形组合让学生对加法和乘法有了更直观的认识，突出相同数字连续相加和乘法的运算关系。学生在“3”和“5”两个数的连续相加中，会自然而然地使用几个“3”或几个“5”相加的言语表达数量关系，完成从图形到语言，再到抽象化概念的过程，乘法运算的定义也自然而然地生成。

2. 借助直观之形，理解运算算理

学生运算能力的强弱取决于运算方法的掌握和算理的理解程度。算理就是运算的原理，它是运算方法的基础。若没有理解算理，就无法真正掌握算法，更谈不上运算技能。因此，教师要引导学生将算法与算理有机地融合，遇到题目不仅会运算，还明白这么算的原因是什么。为了让学生真正地理解算理，教材中也精心选择了一些直观可操作性的图片和材料（小棒、图形、钱币等），学生借助这些直观可见，具有可操作性的“形”，加上已有的知识经验，将抽象化的算理转变为直观具体化容易理解的内容。

例2：以“100以内加减法竖式计算”为例（见图2）。

教材选用了直观便于操作的小棒，让学生在图形中找出抽象的竖式关系，从而明确竖式计算的对齐方法以及同位数才可以相加的规则。学生通过形和数的转化，实现直观思维向抽象思维的转化。

3. 借助直观之形，提升运算能力

想提高学生的运算能力，离不开运算练习，而枯燥单一的运算练习，很容易让学生的思维陷入僵化的状态。根据这个特点，教材编排时，增加了不少的数形内容，为学生提供更多的思维空间，以丰富运算练习，提升运算能力。

例3：以“两位数乘一位数”章节中一道练习题为例（见图3）。

通过图形理解“10×8”这个算式，比单纯的理论更直观，学生通过自己的知识经验和思维能力，阅读图形就能给出相应的算式。算式与图形的互译让学生学会读图，理解算式的真正算理，结合图形从多角度思考问题，不知不觉中就提升了运算能力。

二、数学之形在运算中的作用

1. 以形助教，发展抽象思维

孔凡哲曾说过：“小棒类的图形或实物属于最直接的直观抽象，它能体现出数学对象之间的关系与属性。”心理学家研究发现，小学阶段低年级的学生想要理解数学运算，需借助实际物品逐渐转向替代物完成抽象;小学中年级的学生逐渐淡化实物的直观化，转向于几何图形来理解数学运算;而小学高年级的学生则更注重于数与形之间的关系，通过现象获得运算的本质。由此可见，小学生的思维随着年龄的增长和知识储备的丰富，会发生相应的变化。教师在教学过程中，应因材施教，根据实际情况对教学方案灵活地进行调整。

例4：以“运算律”的教学为例（见图4）。

运算律的教学，可根据学生思维的发展水平，借助其生活情境及抽象程度稍高一些的图形直观、动态的演示，引导学生掌握运算律。例如，“加法交换律”，可以在实数直线上表示数“a”和数“b”，使用箭头演示a+b和b+a的动态。学生可在实数直线上观察到这两个加法的变化与位置无关;两个加数的位置交换，和依然不变。

例5：以“表内乘除法”的教学为例（见图5）。

学生从图5的设计可获得正方形图形和运算之间的联系和各个算式之间的关系。这张图带给学生以下信息：乘法算式和正方形图是有关系的;不同颜色的小方格可列出加法算式;一幅图可列出两种算式。教师引导学生比较加法算式和乘法算式，思考同一幅图为什么会列出不一样的算式，这两个算式之间的关系是怎样的，他们之间有什么样的联系。学生在比较和思考中逐渐感知加法和乘法算式两者的内在联系，图形与运算相结合的方式，对学生抽象思维的发展起到明显的促进作用。

2. 以形助教，获得数形结合的感悟

直观之形广泛地运用于数学运算中，不但帮助学生理解了抽象的数学定义、法则和算理，还是学生形成良好数形结合感悟的媒介。以形助教是小学数学运算教学的方法，学生在直观之形和算式之间建立联系，逐渐完成形象思维向抽象思维的过渡。教师在使用以形助教过程中要根据学生的心理特征和认知发展规律，用恰当的方法在适当的时候呈现具体的直观之形，巧妙地将直观之形和算式之间建立联系，达到以形助运算之效。

例6：以“表内乘法”中的一道思考题为例（见图6）。

此题的目的在于让学生通过观察，构建“图形——数字——算式”的模型，根据图中的规律，获得数形结合的感悟。

例7：“解决问题的策略”中的一道习题（见图7）。

学生对正方形和数都有了一定的感知后，根据形与式的关系，逐渐形成数形结合的思想。

3. 以形助教，发展数学思维

学生通过直观之形的观察与操作，形成新的认知后，教师需根据学生的身心发展特征，引导学生从多角度出发，将直观的形和抽象的运算紧密结合，使用各种方式加以表征，逐步形成“动作思维——形象思维——抽象思维”的过渡。

以“100以内的加减法”为例，学生在使用小棒摆放的过程中，教师可根据学生年龄特征，引导学生表达操作过程。如鼓励低年级的学生边操作边表述，学生不知不觉就将直观操作的经验迁移到运算中，从而理解算理，完成算法。针对中、高年级的学生，可在语言表征的同时引入一些符号图形，鼓励学生加以表征。如高年级的“分数乘法”内容的教学，教师可先将乘法算式呈现给学生，鼓励学生根据分数的意义使用图形来演绎算式的意义，再根据图形分析分数乘法运算的算理，反复多次以后，用字母符号概括出分数乘法运算的规律。学生在此过程中，逐渐形成新的数学思维。

苏娜丹戴克曾说过：“若告诉我，我会忘记;若给我看，我会记住;若让我参与，我会理解。”只有经过学生加工内化的知识，才是属于学生自己的知识。在数学运算教学过程中，教师可借助教材或生活中的各种直观之形，组织学生通过言语表达，形成有序思考的能力，实现低思维水平到高思维水平的过渡。