运用数学“模型思想”，发展学生“核心素养”

郭蕾

摘  要：小学数学模型思想应当是“问题情境”“抽象模型”“解释应用”“发展完善”的过程。在小学数学教学中，教师要着重引导学生丰富“模”的积累，引导学生获得“型”的感悟。只有引导学生建构模型、应用模型、延伸和拓展数学模型，才能让学生在数学模型的建构、丰富中提升数学的学习力，发展学生的数学核心素养。

关键词：小学数学;模型思想;核心素养

模型思想是学生数学核心素养的重要组成部分。东北师范大学史宁中教授曾经这样说：“学生的数学核心素养主要有三：抽象、推理和模型。”从某种意义上说，学生数学学习的过程就是一个模型建构的过程。在这个过程中，学生需要进行数学抽象、数学推理。所谓“数学模型”，就是“学生根据特定的研究目的，对研究对象进行抽象、概括的过程”。这个过程，就是一个数学化、形式化、公理化的过程。一般来说，小学数学模型思想应当是“问题情境”“抽象模型”“解释应用”“发展完善”的过程。只有让学生亲身经历了数学模型建构、解释、应用、发展的全过程，学生才能感悟数学思想方法，积累数学活动经验。

一、创设情境，建构具象性数学模型

“数学模型”是一个含义丰富的概念。广义地讲，一切数学概念、公式、方程等都可以看成是数学模型。数学模型的种类很多，包括公式模型、集合模型、方程模型、函数模型等。建构数学模型基于学生的现实化需求，始于学生的多层次感知，发展于学生的形式化抽象，终于学生的思想化提炼。在模型建构過程中，教师首先要创设情境，激活学生的经验，让学生借助问题形成模型建构的意向。对于学生来说，知识不是纯粹的，也不是孤立存在的，而是嵌入情境之中的。将学生的模型建构镶嵌于情境之中，就是要激活学生的经验，形成学生模型建构的意向。

比如教学“小数的意义和性质”（苏教版五年级上册），这是在学生三年级学习了“小数的初步认识”基础上进行教学的，因此对于学生而言有着十分丰厚的知识基础。同时，学生在生活实践中已经广泛地接触了小数，如商店里、超市里，如在里程表、电表、水表上，等等。这些为学生全面认识小数的意义奠定了坚实的基础。教学中，笔者选取了学生熟悉的经验生活中的素材，如家具的尺寸、超市中常见的物品的价格等。如此，增强学生的感性认识。教学中，笔者让学生比画“1分米”“1厘米”的长度，并让学生从米尺上找出“1分米”“1厘米”。在寻找、比较、分析的过程中，学生认识到“1分米就是将1米平均分成10份，表示这样的一份，也就是1米的十分之一”“1厘米就是将1米平均分成100份，表示这样的一份，也就是1米的百分之一”，等等。那么，十分之一米、百分之一米用小数怎样表示呢？这样，自然能让学生理解“小数的具体意义”，即“十分之一米就是一米的十分之一，也就是0.1米”，等等。

创设情境，激活学生的经验。培育学生的数学模型思想，需要适宜的土壤。这个土壤就是情境。只有在情境之中，学生的情与智相融，情与智交互，才能让学生建立起经验的具体的模型，如“0.1米就是十分之一米”“0.01米就是百分之一米”，等等。一个个具体的数学模型，是抽象的数学模型的基础，它关联着学生的经验与学生的数学认知，是学生建构数学模型的“脚手架”。

二、运用图形，建构抽象性数学模型

学生数学模型的建构不能停留在具体的直观的模型层面，而必须通过具体直观的数学模型的量的积累，抽象提炼成具有形式化、符号化的数学模型。只有通过建构抽象的数学模型，才能深化学生对数学知识的认知。在建构抽象的数学模型过程中，教师可以借助图形，对具体的、直观的数学模型进行抽象、提炼、概括，从而实现对数学知识的深化、突破和超越。

比如在教学“小数的意义”时，当学生通过生活经验、直观操作认识了“0.1米”“0.1元”“0.01米”“0.01元”之后，笔者引导学生画出了一个长方形图，或者正方形图，或者线段图等，并将之看作整数1。学生认识到，这儿的整数1既可以表示1米，也可以表示1元，还可以表示1吨、1小时，等等。将整数1平均分成10份，每一份就是整数1的十分之一，也就是0.1，表示多少份就是零点几。那么，0.1能不能继续平均分呢？显然，0.1还可以重新作为一个整数1，继续平均分成10份，每一份就是0.1的十分之一，也就是原来整数1的百分之一，即0.01。同样，表示多少份就是零点零几，等等。在这个过程中，学生不仅建构了一位小数、两位小数、三位小数等的小数概念，而且认识了一位小数、两位小数、三位小数等之间的深刻关联。

通过示意图、线段图，学生舍弃了具体的学习内容，而形成了对纯数学的认知、理解与把握。学生认识到，“所谓‘小数，就是将整数1平均分成10份、100份、1000份……表示这样一份或几份的数”;认识到“一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几……”;认识到“小数的计数单位”;认识到“相邻两个计数单位之间的进率都是10”;等等。

三、回归生活，建构应用型数学模型

数学模型不仅要从学生的数学知识、经验中来，更要回到学生的知识、应用中去。回归生活，建构应用型数学模型，就是要求教师要引导学生的数学模型解释和应用。对数学模型的解释、应用，要求能抓住问题的本质，逐步感悟出模型建构过程以及模型建构结果之中本质性的东西。只有回归生活，引导学生对数学模型进行解释、应用，经历主动归纳、提升的过程，才能在尝试、验证、交流的过程中深化对数学模型的认知。

比如在教学“小数的意义”时，当学生建立了“小数的模型”之后，就可以引导学生用“吨”表示以“千克”作单位的对象，用“千米”表示以“米”作单位的对象，用圆表示以角、分作单位的对象，等等。不仅如此，教师还可以数形结合，引导学生在数轴上表示已经认识的小数。在数轴上表示0.1、0.01、0.001、0.0001等数之后，学生就会感受到数轴上的点的无穷与小数的无穷之间的一一对应性。通过对数学模型的解释、应用，学生能对数学知识举一反三、触类旁通，这正是学生建构了数学模型的重要标识。数学的思想方法是隐性的，通过数学模型的建构、解释和应用，能显化数学思想方法。在数学教学中，要引导学生多分析、多思考，发展学生的数学模型思想和数学思维能力，进而不断提升数学问题解决能力。通过建模、释模、用模，不断丰富数学模型的意义。相比较于数学知识，数学模型更为抽象，更不可照搬、复制，只能通过感悟、体验。

回归生活，数学的抽象模型就能获得丰富的解释力，就能彰显数学模型的意义和价值，彰显数学模型的力量。数学模型的应用，让学生获得多层次的感受与体验，从而能抓住数学模型的根本。只有引导学生进行模型的生活化应用，才能提升学生的问题解决能力，有效地发展学生的数学核心素养。

四、拓展延伸，形成发展性数学模型

小学数学模型是相同的，比如“单价乘数量等于总价”“速度乘时间等于路程”“工效乘工时等于工总”等数学模型，其实都可以概括为“乘法模型”。数学模型，既有上位的数学模型，也有下位的数学模型。这样，才能培育学生对数学知识的融会贯通的能力，培育学生数学知识灵魂应用的能力。

比如在“小数的意义”数学模型的建构中，教师可以将之与“分数的初步认识”中所建构的数学模型、与整数的数学模型相沟通，从而帮助学生建构完整的“数位顺序表”。比如向左分别是“10个0.1是1，10个0.01是0.1，等等”;向右分别是“10个1是10，10个10是100，10个100是1000，等等”。当我们将小数和整数、分数勾连起来的时候，学生就能深刻认识“小数模型”，即“小数是不带分母的十进分数”;或者说，“小数就是将整数1平均分成10份、100份、1000份……表示这样一份或几份的数”，并且学生认识到“小数和整数”的相通性，相邻两个计数单位之间的进率都是10，即“前一个计数单位是后一个计数单位的10倍，后一个计数单位是将前一个计数单位依次平均分成10份，是前一个计数单位的十分之一”，等等。这样的认知，是一个从低级到高级、从个别到一般、从具体到抽象、从感性到理性的过程。这样的过程，让学生对“小数的意义”的模型的理解逐渐走向深入。

在小学数学教学过程中，教师要重视数学模型思想的渗透、孕育，要引导学生经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释和应用的过程;要着重引导学生丰富“模”的积累，引导学生获得“型”的感悟。只有引导学生建构模型、应用模型、延伸和拓展数学模型，才能让学生在数学模型的建构、丰富中提升数学的学习力，发展学生的数学核心素养。