构建知识结构 指向深度学习

2020-09-14 12:03:33 神州·上旬刊 2020年9期

陈丹娜

摘要:乘法公式是初中极为重要的一个公式,教材中首先研究了平方差公式,其研究过程具有很好的育人价值,从一般到特殊的研究方法,从具体到抽象的研究过程,数形结合的研究视角,为后续继续研究其他公式提供研究思路和方法.本文以《乘方公式(第一课时)》为例,具体来谈谈教学中如何设计问题串,真正做到深度学习。

关键词:平方差公式;公式教学

一、内容与内容解析

1.内容解读

某些特殊形式的多项式相乘,可以写成公式的形式,当遇到相同形式的多项式相乘时,就可以运用公式写出结果,以简化运算。平方差公式是多项式的乘法公式的一种特殊情况,其本质特征是一项对应相等,一项对应相反的两个二项式相乘,等于相同项的平方减去相反项的平方。公式(a+b)(a-b)=a2-b2中的字母a,b可以是具体的数、单项式、多项式、分式乃至任何代数式。平方差公式的得出,以多项式乘法与合并同类项的知识为基础,从一般形式的整式乘法运算到对特殊形式的乘法运算概括出乘法公式,体现了一般到特殊的思想方法。探索平方差公式的过程,从具体的具有特殊形式的几组多项式乘法的运算结果中,通过观察、比较,抽象概括出一般的形式,并通过符号推理获得公式的符号表示及语言表述,体现了从具体到抽象地研究问题方法

二、目标与教学重难点

1.目标

(1)理解平方差公式;

(2)在探索平方差公式的过程中,感悟从一般到特殊,以及从具有到抽象地研问题的方法,在验证平方差公式的过程中,感知数形结合思想。

2.教学重难点

重点:平方差公式

难点:平方差公式的发现;平方差公式的变式运用.

三、教学过程设计

1.复习引入,获得研究对象

问题1  前面我们学习了多项式的乘法,你能说说运算法则吗?这些运算的依据是什么?

设计意图:回顾运算法则,强化“用运算律计算”的意识。

(引言:数学中,经常要通过考察特殊情况来获得对问题的进一步认识,例如在两条直线的位置关系中,我们特别研究了平行、垂直两种特殊的位置关系,得到了一些有用的结论。类似的,在多项式乘法中,也有一些特殊情形值得研究。)

问题2 如前一节课练习中(x+b)(x+d)就是一种特殊的多项式相乘,它是(a+b)(c+d)在a=c=x时的特例。对这些特殊形式的多项式相乘,可以写成公式的形式,當遇到相同形式的多项式相乘时,就可以运用公式写出结果,以简化运算。在(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中,你认为还有哪些特殊情形?

通过“先行组织者”,渗透从一般到特殊,考察特例,深入认识数学对象的方法,体会多项式乘法与本届内容的关系——“一般——特殊”;

[预设:学生会提出c=a,d=b时即(a+b)(a+b),对平方差这种特殊关系不一定能想到,需要老师引导,启发学生“特殊关系”有哪些,因为字母表示数,所以项与项之间的特殊关系和数的特殊关系相同,相等或相反是特殊关系。]

2、从具体到抽象,探究公式

问题3 你能举出几个具有以上述特殊情形的具体算式吗?

问题4  计算你列出的多项式的积,你能发现什么规律?

追问1 观察积的各项,相乘的两个多项式的各项与它们的积中的各项有什么关系?

追问2 你能将发现的规律用式子表示出来吗?

追问3 你能对发现的规律进行验证吗?

设计意图:让学生经历具体——抽象的过程,即经历观察(每个具体的算式及其结果的特点)、比较(不同算式及其结果间的异同)、抽象(不同算式及其结果的共同特征)、概括(可能具有的规律)、推理(论证概括的结果)的过程,从中体会研究数学问题的基本思想方法——“具体——抽象”。

3、本质特征概括,归纳公式

问题5 前面探索所得的式子称为乘法的平方差公式,你能将平方差公式用文字语言表述吗?

追问1 你能总结性平方差公式的结构特征吗?

追问2平方差公式与多项式乘法有何关系?

设计意图:让学生将符号语言转化为文字语言,发展学生的数学语言能力;学生在用语言表述公式内容时,可以加深对公式结构特征的理解。

4、数形结合,理解公式

问题6将图甲中阴影部分的小长方形变换到乙图位置,你能根据两个图形的面积关系直观地说明平方差公式吗?

设计意图:通过探究活动,让学生认识平方差公式的几何意义,使学生更好得理解这一公式,并此过程中体会数形结合思想。

5、例题讲解,辨析公式

例1  用平方差公式计算:

练习1  下列两个多项式相乘,可以用平方差公式计算吗?若可以,请写出相应的相同项(a)和相反项(b),并计算结果。

问题7 通过例1和练习1中,你认为运用公式解决问题时应该注意点什么?

[师生活动:学生进行小结归纳,教师进行补充]

(1)再运用平方差公式之前,一定要看是否具备公式的结构特征;

(2)一定要找准那个数或那个式相当于公式中的a,那个数或式相当于公式中的b;

总结规律:一般地,“第一个数”a的符号相同,“第二个数”b的符号相反;

(3)公式中的字母a、b可以表示数,也可以表示数的单项式、多项式即整式

(4)有些多项式与多项式的乘法表面上不能应用公式,但通过适当的变形,实质上能应用公式。

例2  计算:

(1)103×97    (2)59.8×60.2    (3)5678×5680-56792

拓展  运用平方差公式计算:

(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1

设计意图:通过练习让学生熟悉公式的结构特征,并引导学生深入分析平方差公式的结构特征明确a,b的意义。并在数的乘法用应用,使得学生将平方差公式的知识迁移到新的问题情境中,及巩固新知,又培养学生分析和解决问题的能力。

6、归纳小结,形成研究套路

(1)请你总结一下本节课讨论问题的基本过程。

(2)你能说说公式的结构特点吗?应用时应注意哪些问题?

(3)能否循着上述思路,再提出一些值得研究的问题?

设计意图:通过小结,使学生梳理本节课所学内容,把握本节课的核心——平方差公式,进一步认识公式的结构特征,为运用公式积累经验。

小结

本节课主要的亮点有,亮点1:注重研究方法的渗透.通过从一般到特殊的研究方法,启发学生发现研究对象,从一般形式(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd出发,类比数具有的数量关系,找到c=a,d=b和c=a,d=-b,两种特殊形式.再次让学生聚焦今天的研究内容是c=a,d=-b,通过学生自己举例,从具体到抽象,概括出平方差公式;亮点2:挖掘公式本质.平方差公式其本质特征是一项对应相等,一项对应相反的两个二项式相乘,等于相同项的平方减去相反项的平方,在教学时从发现问题开始就直指本质,学生遇到平方差公式变形类问题时,如(-x+2y)(-x-2y)时,学生不需要进行符号转化抓住相同项是-x,相反项是2y,然后直接应用求解即可,突破难点;亮点3:多角度进行公式结构的分析.通过发现研究对象,得到公式后让学生用符号语言表示第一次体会公式结构,再通过用图形揭示平方差公式第二次体会公式结构,最后通过利用公式进行计算,在处理类似于(a+b+c)(a+b-c)的问题中,体会公式中的字母a,b可以是具体的数、单项式、多项式、分式乃至任何代数式,真正掌握平方差的公式结构。