递推数列在概率问题中的应用

付增民

(浙江省永康市第一中学,321300)

利用递推数列探求概率问题,不仅体现概率与数列知识的交汇性,而且有利于培养学生的数学核心素养,提高其数学解题能力与创新能力.

一、用一阶递推数列求概率

评注本题主要考查学生的数学建模能力和化归转换能力,依题意建立递推关系是解题的关键.对形如an=pan-1+q(n≥2)的递推数列,常用待定系数法将递推关系转化为等比数列模型,使问题获解.

二、用二阶递推数列求概率

例2(2019年全国高考题)为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物实验.实验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比实验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮实验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止实验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮实验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得-1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得-1分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮实验中甲药的得分记为X.

(1)求X的分布列;

(2)若甲药、乙药在实验开始时都赋予4分,pi(i=0,1,…,8)表示“甲药的累计得分为i时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则p0=0,p8=1,pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1).假设α=0.5,β=0.8.

(i)证明: {pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)为等比数列;

(ii)求p4,并根据p4的值解释这种实验方案的合理性.

解(1)易知一轮实验中X的取值有1,-1,0三种情况,且P(X=1)=α(1-β),P(X=-1)=(1-α)β,P(X=0)=αβ+(1-α)(1-β).故X的分布列为:

X1-10Pα(1-β)β(1-α)αβ(1-α)(1-β)

(2)(i)因α=0.5,β=0.8,由(1)可知a=P(X=-1)=0.4,b=P(X=0)=0.5,c=P(X=1)=0.1.

故pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1,即pi+1=5pi-4pi-1.由待定系数法，可得pi+1-pi=4(pi-pi-1),所以{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)是首项为p1、公比为4的等比数列.

三、用三阶递推数列求概率

形如an=pan-1+qan-2+ran-3(n≥4)的递推数列称为三阶递推数列,求这类数列通项公式的思路是转化为一阶或二阶递推数列.

(1)经过1轮投球,记甲的得分为X,求X的分布列;

(2)若经过n轮投球,用pi表示经过第i轮投球,累计得分,甲的得分高于乙的得分的概率.

(i)求p1,p2,p3;

(ii)规定p0=0,经过计算机计算可估计得pi=api+1+bpi+cpi-1(b≠1),请根据(i)中p1,p2,p3的值分别写出a,c关于b的表达式,并由此求出数列{pn}的通项公式.

于是,X的分布列为

X-101 P131216

同理,经2轮投球,甲的得分Y可能取值为-2,-1,0,1,2.记P(X=-1)=x,P(X=0)=y,P(X=1)=z,则P(Y=-2)=x2,P(Y=-1)=xy+yx,P(Y=0)=xz+zx+y2,P(Y=1)=yz+zy,P(Y=2)=z2.由此得甲的得分Y的分布列为

Y-2-1012 P1913133616136

(ii)因为pi=api+1+bpi+cpi-1(b≠1),p0=0,令i=1,2,得