有心圆锥曲线的焦点三角形性质及解题策略

2020-10-09 11:05:33 科教导刊·电子版 2020年21期

张吉华

摘要:众所周知,圆锥曲线是高中学习的重点内容,也是难点内容之一,而有心圆锥曲线的焦点三角形又是设计考题的热点知识,于是弄清焦点三角形的性质和解题策略就显得非常必要. 以下就作者结合教学经验,列举一些焦点三角形的基础性质和拓展性质,并举例说明这类问题的一般解题策略,供大家参考。

关键词:有心圆锥曲线;焦点三角形;性质;策略

中图分类号:G633.65     文献标识码:A

定义:在有心圆锥曲线上,焦点所在直线上的顶点除外的任意一点P和两个焦点F1,F2构成的△PF1F2称为有心圆锥曲线的焦点三角形,简称焦点三角形。

为研究方便,以下在没有特指的前提下,有心圆锥曲线均是焦点在x轴上,中心在原点的标准曲线,即:椭圆方程为,双曲线方程为,其中点P坐标为(x0,y0),焦距| F1F2|=2c,离心率为e,焦参数(焦点到相应准线的距离)为p,∠F1PF2=,∠PF1F2=,∠PF2 F1=。

1焦点三角形的基础性质

2焦点三角形的拓展性质

下面以椭圆为例对拓展性质加以证明。

证明:由椭圆第二定义得,∴ ,同理可得 。

由三角形余弦定理得 = ┄┄①,由椭圆定义得,两边平方得=4a2┄┄②,②-①得

2| PF1|  | PF2|(1+ cos)=4(a2-c2)=4b2,

∴。

由三角形正弦定理得,

∴,即,

∴。

要证明椭圆的光学性质,只要证明直线PF1和PF2关于点P所在的切线对称即可。

椭圆方程化为,两边对x求导,化简得,∴切线的斜率,直线PF1、PF2的斜率分别为、,设从直线PF1到切线的角为,则,结合,化简得。同理,设从切线到直线PF2的角为,则。这就证明了直线PF1和PF2关于点P所在的切线对称,即椭圆的光学性质得证。

至于双曲线的拓展性质,依样可证,这里就不再详述。

3焦点三角形的解题策略

在解决有心圆锥曲线的焦点三角形问题时,通常用到基础性质就可以,但必要时能用拓展性质会显得更加快捷,以下举例说明:

例1:已知F1、F2分别为椭圆的左、右焦点,点P在椭圆上,△POF2是面积为1的正三角形,求b的值。

策略1:利用点P坐标代入椭圆方程求解,简称坐标代入法。

由△POF2是面积为1先求出c= |OF2|=和点P坐标(,),把P坐标代入椭圆方程,结合,解方程组便可求出b的值。

策略2:利用椭圆第一定义求解a,简称定义法。

同样先求出c后,在△POF1中通过三角形余弦定理求出|PF1|,再利用椭圆定义求2a=|PF1|+|PF2|,最后由求出b的值。

策略3:利用拓展性质求解,簡称拓展法。

由|OF1|=|OF2|=|OP|得△PF1F2是∠F1PF2为直角的直角三角形,△PF1F2的面积是△POF2是面积的2倍,即:,由拓展性质得,,∴b=。

显然,策略1的坐标代入法计算量大,通过解方程组,相对繁琐;策略2的定义法计算有所简化;策略3的拓展法非常简便,口算就能得出答案。

例2:(2020届江西省红色七校高三年级第一次联考(理)16题)双曲线C:的左、右焦点分别为F1,F2,点P在C上,且,O为坐标原点,则|OP|=         。

策略1(坐标代入法):设P点坐标(x0,y0),先求出PF1和PF2的斜率和,由到角公式建立一个方程,与点P坐标代入双曲线方程得到的方程联立,通过解方程组得出x0,y0,再去求|OP|的值。

策略2(定义法):先由已知求出的值,设|PF1|=m,|OF2|=n,在焦点三角形中,由余弦定理列出一个关于m,n的方程,再由双曲线定义列出另一个关于m,n的方程,联立求出m,n.再利用托莱梅定理(平行四边形对角线的平方和等于各边平方和)求出|OP|。

策略3(拓展法):由已知可求出,利用拓展公式求面积,继而求出的高,即点P纵坐标,并代入双曲线方程求横坐标,最后求出|OP|=。

策略1的计算非常麻烦,策略2会好一些,但比起策略3还是比较琐碎。

例3:(2016年高考全国卷Ⅱ(理)11题)已知F1,F2是双曲线E:的左右焦点, 点M在E上,M F1与x轴垂直,,则E的离心率为(  )A.     B.    C.    D. 2

策略1:由得,∴中,,于是可得到点M的坐标(),代入双曲线方程便能求出离心率。

策略2:同上先求出,并求出,由双曲线定义得,最后可求离心率。

策略3:由拓展公式,其中,,于是很容易求得,∴。

本例说明定义法比坐标代入法简单,拓展法又比定义法简便。

综上所述,在解决有心圆锥曲线的焦点三角形△PF1F2问题时,通常有三种解题策略。问题如果涉及焦点三角形的顶点P坐标时可用策略1——坐标代入法,否则可设出焦点三角形的两边|PF1|=m,|PF2|=n,利用三角形余弦定理和曲线第一定义列式求解,即策略2——定义法,当问题涉及焦点三角形的拓展性质时,用策略3——拓展法解题会显得更加简便、快捷。