三等分任意角探究

2020-10-09 11:05:33 科教导刊·电子版 2020年21期

岳斌

摘要:三等分任意角是古希腊人所提出来的,并且一直到现在都是数学界中的热点难题。而此题的难点就在于采用尺规作图法难以进行准确的等分。虽然有的学者从代数的角度出发,论证了其并不可行,但是如果用代数与几何相结合的方法来进行分析,那么就能够发现任何一个角都可以进行三等分。而如何来实现三等分任意角,也有很多学者进行了研究。自从计算机诞生以来,计算机所具有的强大的计算能力,为人们解决各种数学难题提供了有力的支持。文中,主要利用计算机,就对三等分任意角的作法及证明进行了介绍。

关键词:三等分;任意角;作法;证明

中图分类号:G267     文献标识码:A

前面的话:三等分任意角是一个自古希腊以来未解的世界难题。此难题的作法要求是采用尺规作图法。但是如今有计算机,利用计算机却可以解决这一千古难题。

文章研究方向:利用计算机解决三等分任意角(0-360敖牵┑奈侍狻?

作图工具:计算机(几何画板5.0)。

理论依据:几何画板5.0的特点。

几何画板5.0特点是移动圆心(在平面内,在直线或线段上,在圆周上)的位置,可以改变圆的大小。

1三等分任意角的发展历史

在世界数学发展进程中,古希腊人做出了不可磨灭的贡献,希腊也被后世称作是几何学的故乡。在古希腊人看来,模棱两可的事物不可取,只有直线和圆才具备审美的基本要求,明确得让人无可挑剔。并且仅仅需要边缘平直的相关工具便能够从心所欲地绘制出一条直线,通过一端固定、一端旋转的工具也能够绘制出一个圆。因此古希腊人在进行几何作图时只能够使用圆规及直尺。到了公元前六至四世纪,古希腊人不断尝试通过无标记直尺与圆规来实现以下目的:(1)三等分某一任意角;(2)根据任一立方体绘制出其体积两倍的立方体;(3)根据任一圆绘制出等于于其面积的正方形。这三个问题被后人三等分角问题,倍立方积问题以及化圆为方问题。针对这三个问题,特别是任意角三等分问题,相关学者通过深入研究后发现,通过无标记直尺以及圆规无法有效解决这类问题。著名数学家万泽尔于1837年证明了无法通过尺规来完成任意角三等分以及立方倍积的证明;克莱因也于1895年根据已有的研究成果,针对这三个问题做出了不可能应用尺规作图的简明证法。但随着信息技术水平的不断提升,当前通过计算机的辅助则能够有效解决这类千古难题。

2三等分任意角的作法

如图:已知任意∠AOB(为0—360度的角。)

(1)以∠AOB的顶点O为圆心,任意长为半径画弧交角两边,分别为A、B两点。

(2)在AB弧上任取一点C。以C点为圆心,CA长为半径作⊙C。⊙C交AB弧分别为A、D两点。

(3)再以D点为圆心,DC长为半径作⊙D(使⊙D与⊙C为等径圆)。圆D交AB弧分别为C、E两点。连接O、E两点。

(4)点击拖动⊙C的圆心C点(C点则在AB弧上按顺时针或逆时针方向运动),使OE与OB重合。

(5)分别连接O、C和O、D兩点。则OC和OD为∠AOB的三等分线。

类似地,可把0—360度角任意5等分、7等分……N等分。

证明:如图。

(1)由作图可知,CD既是⊙C的半径,又是⊙D的半径,即⊙D和⊙C为两个等径圆。

(2)因为几何画板的特点是移动圆心的位置,可以改变圆的大小,所以拖动⊙C的圆心C点时,C点则在AB弧上按顺时针(或逆时针)方向运动,⊙C的半径(CA和CD))则增大(或缩小)。

(3)因为:CD既是⊙C的半径,又是⊙D的半径。(作法)

所以:当⊙C的半径CD增大(或缩小)时,⊙D和⊙C两个等径圆的半径则同时增大(或缩小)。

即当半径CD增大(或缩小)时,⊙D和⊙C两圆总保持等径圆关系。

故所以:C点在AB上的顺逆运动中,同时改变了⊙D和⊙C两个等径圆的大小,但⊙D和⊙C仍保持等径圆关系。

(4)因为:C点在AB弧上的运动中,⊙D和⊙C总保持等径圆关系。

所以:C点在AB弧上的运动中,⊙D和⊙C的半径关系是:AC=CD=DE。

故所以:当拖动C点,使OE与OB重合(或使E点与B点重合)时,则有:AC=CD=DB。(等径圆关系)

(5)因为:AC=CD=DB。(已证)

所以:∠AOC=∠COD=∠DOB。(在同圆或等圆中,弦相等所对圆心角相等)也即OC和OD为∠AOB的三等分线。证毕。

3结语

综上所述,任意角三等分是困扰历史上无数数学名家的千古难题,虽然已经被相关学者证明通过尺规作图无法有效解决,但在科学技术日趋发达的当代社会,这一问题能够通过信息技术的应用来得到突破。

参考文献

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[2]方和生,方祖旺.三等分任意角挑战世界[J].数学学习与研究,2013(23):119.

[3]鹤侠.小精灵三等分任意角[J].中学数学,2010(12):65.