常微分方程课程的教学改革与实践方法初探

2020-10-09 11:05:33 科教导刊·电子版 2020年21期

摘要:常微分方程课程是各大高等院校都会开展的课程,因为常微分方程有很强的理论性,并且在实际的运算中还有很强的应用性,为了更好地实现常微分方程课程教学改革,为常微分方程的实际应用提供更大的空间。本文将对常微分方程课程的改革与实践方法进行改进和研究,分别从教师与学生的角度对这一问题进行探讨,从而更好的探寻出常微分方程课程的改革方式。

关键词:常微分方程;课程改革;教学方法;实践

中图分类号:G642.3     文献标识码:A

《常微分方程》是数学与应用数学专业的一门专业核心课程,是连接三门专业平台课程数学分析、高等代数、解析几何和三门后继课程泛函分析、拓扑学、近世代数的桥梁。该课程在大学的第四学期开设,共64(16?)学时,4学分,在专业人才培养方案中起到承上启下的作用。

培养本科层次的高素质应用型人才是我们地方高校的办学定位。为更有效地实现应用型本科院校的人才培养目标,结合我院学生的实际,我们对《常微分方程》的课堂教学进行了改革与探索,切实提高课堂教学质量。

1充分发挥教师的职能

教师是学生获取知识的重要途径,只有通过教师的讲解学生才能够将各种知识不断的掌握运用,因此教师在学生学习过程中起到了极为重要的作用,这是不可替代的。

以往我们讲授《常微分方程》的一条主线是解方程(组)。解方程(组)包括一阶微分方程的初等解法、可降阶的高阶微分方程、线性微分方程(组)解的结构和常系数微分方程(组)的求解。

近年来,我们越来越感受到这种传统的授课思路明显落后于现代社会的发展,突出体现在学生遇到应用型题目时的茫然和研究生复试中。

鉴于此,我们搭建了一条新的教学主线——数学思想。思想是数学的灵魂,抓住了数学思想,能够以一变应万变。比如,一阶微分方程解的存在唯一性定理是《常微分方程》课程的理论基石,逻辑性强、抽象程度高,一直以来是课堂教学的难点。

解的存在唯一性定理:如果函数在矩形域

上连续且关于y满足Lipschitz条件,则方程

(*)

存在唯一的解,定义于区间上,连续且满足初值条件,

这里,

该定理的核心思想是Picard逐次逼近法:任取一个初始函数,运用迭代的方式构造出函数列。针对Picard逐次逼近法,学生普遍感到疑惑的问题是:为什么从开始,就能够越来越接近微分方程的解?为此,我们特别指出估计式

并运用数学归纳法给出证明,其中L是Lips-chitz常数。

掌握了Picard逐次逼近法,就把握了定理证明的核心。从逐次逼近法的角度,课后习题3.1中的多个题目就可能变成了一个题目,相同的是思想,不同的只是形式和计算技巧。比如,利用Picard逐次逼近法我们可以解答和证明:

(1)初值问题的n次近似解,见第1、2、3题;(2)一阶线性微分方程解的存在唯一性定理,见第5题;(3)方程(*)在闭区间[;,;]上整体解的存在唯一性,见第8题;(4)函数方程解的存在唯一性,见第9题;(5)积分方程连续解的存在唯一性,见第10题。掌握了一种数学思想,就把握住了众多问题中存在共性的地方。

2发掘知识重点

常微分方程是一门应用性强的学科,早已渗透到控制论、分支理论、泛函微分方程等数学分支,也广泛应用于社会学、种群生态学、气象、医学、力学等领域。教材在绪论中介绍了常微分方程的若干模型,我们将这些方程模型重置于相对应的章节,再摘选文献里的一部分应用型题目添加进课堂,教学效果良好。比如,绪论中的Malthus人口模型建立了一个变量可分离方程;文献[2]中的案例4(静脉输液问题)建立了一阶常系数非齐次的线性方程等。有了这些生活中的实际问题建立起的数学模型,学生对相应类型的微分方程求解自然是兴趣盎然且积极主动。

3增强学生的主观能动性

在学习过程中,要想真正的实现教学效果的提升,就必须让学生的主观能动性得到提升,只有充分发挥学生的主观能动性,才能够更好地实现教学效果的改良。可以充分利用学习平台,学生的知识掌握水平存在着很大的差异,所以在课堂中学生的掌握程度也不尽相同,那就可以通过利用网络平台为学生讲解,此外教师还可以将网上的优质教学资源进行筛选上传,让学生通过课余时间加强对相关知识的掌握,从而让学生对知识的理解不断加深与强化。

4结语

常微分方程课程作为一项基础课程,在很大程度上为学生的实际工作提供了帮助,这一课程在实际运用方面十分广泛。只有真正的从教师和学生两个方面实现课程改革,才能够真正的提高学习效率,与时俱进。

基金项目:滨州学院2016年度校级专业核心课程建设项目(课题编号:BYHXKC201604)。

作者简介:张萍萍(1973.1)女,汉族,山东滨州人,博士,滨州学院,副教授,研究方向:微分方程与动力系统。

参考文献

[1]周霞,张克磊,刘期怀.基于"雨課堂"的"常微分方程"课程教学改革与实践[J].教育现代化,2018,5(49):131-135.

[2]吴琼扬.常微分方程课程的教学改革与实践[J].当代教育实践与教学研究(电子刊),2018(04):178-179.