关于泰勒多项式的“体验式”教学设计

2020-10-09 11:05:33 科教导刊·电子版 2020年21期

米黑龙 李芸 曾甲生

摘要:泰勒多项式是高等数学课程的一个重点,也是一个难点。很多学生觉得其太过于抽象,不知所云。文章介绍“体验式”教学方法在泰勒中值定理教学中的具体应用以及所产生的效果。

关键词:体验式教学;泰勒多项式;泰勒中值定理

中图分类号:O172     文献标识码:A

1设计任务体验多项式的“简单”,理解引入泰勒多项式的必要性

要求学生不借助任何计算工具计算下列函数在处的函数值

(1);          (2);

(3);                   (4)

顯然,只有(1)与(2),我们不用借助任何计算工具,只通过手算给出答案,因为他们只包含加法,减法及乘法运算,而(3)与(4)尽管是我们最熟悉的初等函数,除了某些特殊点,其它任一一点的函数值几乎都不好求,那在实际问题中遇到这些问题,我们怎么解决呢?学生自然会列出一系列解决方式,例如查表,运用计算器,借助电脑等等。此时,教师适时的指出,即使我们认为“万能”的计算机其内部也只会进行加、减、乘、除以及逻辑运算,或者换句话说,我们先要把其它运算转化成加、减、乘、除以及逻辑运算,计算机才能帮助我们解决,那么转化成什么形式?怎样转化?通过片刻的思考,学生突然醒悟,多项式的形式!至于怎么转化就是接下来我们的主要任务了。

2设计任务体验同一多项式的不同形式的优越性

验证下列多项式相等,并分别求出其在,,处的函数值

(1);        (2);

(3)

多项式(1),(2)和(3)只是幂的形式不一样,实质上是相等的,学生计算处的函数值自然会选(1),计算处的函数值自然会选(2),计算处的函数值自然会选(3)。教师适时提问,若我们需计算在点附近的某点处的函数值,当我们采用一个多项式来近似的时候,采用什么样的幂的形式较好呢?学生自然就会想到采用的幂的形式计算方便一些。

3设计任务体验泰勒多项式的系数的确定

(1)求在处的函数值,一阶导数值,以及二阶导数值,并观察任务二的(1),(2)和(3),你发现了什么?

学生通过观察会迅速发现我们可以利用导数将多项式转化成不同的幂的形式。

(2)当在点处可导时,对于充分接近的点,写出其近似计算的公式。

学生迅速写出,并且幡然顿悟:线性近似多项式的系数分别就是该点处的函数值与导数值!

(3)与在点处具有哪些相同点?上述结论能否推广到一般的函数呢?即为一般的函数时,用一个关于的幂的形式的次多项式近似(注意此时只能是近似),是否也可通过上述方式确定的系数呢?

学生通过回顾微分的内容迅速给出答案:与在点处不仅函数值相同,一阶导数值也相同,从几何上来说与在点处相交,并且在这一点具有相同的切线。并且实际上就是根据这两个条件所确定的一次多项式。教师趁机引导如果还具有相同的弯曲方向是否近似程度更好?怎样描述?此时可以确定几次多项式?学生思考得出结论:此时多了一个相同的条件,近似程度当然更好,并且应该可确定一个二次多项式。教师指出弯曲方向可由二阶导数进行描述,即,并由此可得二次项的系数为。教师进一步引导,如果与近似的多项式在点处的三阶,四阶……直至阶导数也相同,近似程度将更好,此时可以确定一个次多项式,并且通过简单的计算得次幂的系数为。至此我们得到了阶泰勒多项式的具体形式:

基金项目:2019年湖南商学院校级教学改革研究项目《应用驱动式线性代数课程教学模式改革研究与实践》(校教字[2019]16号);2020年湖南工商大学校级教学改革研究项目《基于 MOOC+SPOC 的公共数学类课程混合式教学模式创新的探索与实践》(校教字[2020]15号)。

参考文献

[1]同济大学应用数学系.高等数学(第5版)[M].北京:高等教育出版社,2002:137-143+215-223.

[2]王静,方晓峰,于宁莉.泰勒公式的“探究式”教学[J].高等数学研究,2012,9(05):45-47.