导数概念的教学设计

2020-10-20 06:07:12 山东青年 2020年8期

谌凤霞 陈娟

摘 要:导数是微分学中重要的核心概念,其产生的背景深刻且应用广泛。基于“以学为中心”的教学要求,通过问题导入、启发探究、应用举例、知识总结、课后巩固等设计环节,调动了学生在已有知识的基础上,主动探索新知识的信心,引导学生自主探究掌握知识,激发学生学习热情。

关键词:导数的概念;教学设计

《高等数学》是我校工科类、管理类本科专业必修的一门公共基础课程。本课程的培养目标是通过高等数学基本概念、基本理论及基本运算的学习使学生具有分析、解决专业中实际问题的能力,从而培养学生主动探索、勇于发现的科学精神。“导数的概念”在《高等数学》课程的学习中起到贯穿始终、承上启下的作用。

本次课依据专业需求教高数、技术发展教方法、学生志趣改手段,采用灵活多样的教学方法,通过任务驱动引入教学内容,案例式教学、参与式教学实施教学内容,结合网络平台完成知识的传授、内化和升级,这种教学模式,营造了学生想学、乐学的教学氛围。在学习方法上,注重培养学生自主学习、合作探究、总结反思三种能力,使学生从“我学会”转变成“我会学”。

导数是微分学中重要的核心概念,其产生的背景深刻且应用广泛。本次课设计的重点是如何把导数产生的背景、广泛的应用、抽象的概念和厚重的历史文化有机地融合并渗透到德育和智育中去。为此,本节课引导学生在日常生活中乘坐高铁时观察到的两个细节入手,采用问题驱动模式,运用极限方法开展探究。让学生经历提出问题,分析问题和解决问题的全过程,培养学生的观察能力、抽象概括能力、分析问题和解决问题的能力。通过不同背景问题共性的概括,导数概念的产生自然是水到渠成。

一、创设情境、导入新课

函数是高等數学研究的主要对象。在第一章我们用极限方法研究了函数的连续性。这一章我们继续使用极限方法给出研究函数的一个有力工具。请同学们看一个短视频,短片中飞驰的高铁是我国创新能力的标志性成果,也是我国向世界递出的一张靓丽的名片。

短片中两个细节引起的问题值得同学们的思考。第一个是电子屏清晰地显示了高铁在变速行驶中每个时刻的速度,这个瞬时速度怎样求出来的?第二个问题,当高铁驶入弯道时,为保持高铁的平稳运行,弯道的设计会涉及到求曲线的切线斜率,这个切线斜率又如何求解呢?

设计意图:通过精心设计的视频短片,使学生联系实际,吸引学生注意力,激发学生解决问题的积极性。

1、 瞬时速度

设质点做变速直线运动,其位置函数为s=f(t),时刻t0处的位置为f(t0),怎样求t0时的瞬时速度呢?

我们现在不会求瞬时速度,因为这是个速度是变化的,但同学们会求平均速度。为此,再取一个时刻t,就可计算出从t0到t时间间隔内的平均速度,即

当所取的时间间隔很小时,用平均速度近似代替t0时的瞬时速度。 若所取的时间间隔越小,则这个平均速度就越接近t0时的瞬时速度。让t无限地趋近t0 ,若平均速度的极限存在,大家看,这个极限值就是什么? 对,就是高铁在t0时的瞬时速度。

2、切线的斜率

当点N沿曲线C无限接近于点M(动画演示切线形成过程)。割线MN的极限位置就是曲线C在点M处的切线。

当点N沿曲线C无限接近于点M时,则有x→x0。对割线MN的斜率,取x→x0时的极限,若极限存在,则该极限值就是切线MT的斜率。

设计意图:通过对两个引例的解释,帮助学生思考解决问题的关键与方法途径,为新课的学习做好铺垫。

二、启发探究、揭示本质

回顾这两个问题,这两个问题有什么共性呢?

对,虽然这两个问题的背景不同,但从数学上看二者本质却是相同的,都归结为函数在一点处的改变量和自变量改变量之商的极限。这个商的分子是函数值之差,分母是自变量之差,所以这种形式的极限也称为差商的极限。我们就把这种差商的极限抽象出来,上升为数学上的概念,就是导数的定义。

三、应用举例、巩固概念

例1 求函数y=x2在点x=2处的导数。

例2 求函数y=sinx在点x=1处的导数。

选择了简单而具有代表性的两个例子,采用板书推导,严格给出解答步骤,培养学生规范解题与书写的能力。让同学们讨论如何判断函数在一点是否可导?并讨论总结出求函数导数的一般步骤。让同学们知道导数的定义式既可用于判定又可用于计算,加深对课程内容的理解。

四、知识拓展、提升技能

(1)如何定义函数f(x)在闭区间 [a, b]上可导呢?

(2)函数f(x)在一点处可导与在这点处有切线是什么关系?函数连续与可导的关系?

(3)导数的几何意义。

五、知识总结、深化学习

(1)通过思维导图的动画形式对本课主要内容和知识点进行总结,形式有趣,更容易达到教学效果。

(2)本课课后,在课堂派上发布课后作业,通过作业为掌握导数的基本公式做好准备。

(3)思考问题:求函数y=sinx,y=logax的导数,老师和同学们在课堂派中交流讨论。课后巩固过关,对作业及时批阅和针对性的辅导。

本节课使用了信息化教学手段,使得课堂上信息来源变得丰富多彩;采用翻转课堂教学模式,使学生带着准备进入课堂,成为学习过程的中心,主动的参与课堂教学,全面提高课堂的互动;创设学生感兴趣的学习情境,引导学生自主探究掌握知识,激发学生学习热情;教学环节,环环相扣,层层递进,成功将学生留在了课堂;任务驱动、小组合作相结合突破教学重难点,真正实现了做中学、做中教、教学做合一。

[参考文献]

[1]《高等数学》——百度百科.

[2]冯颖. 常数项级数的微课教学设计,高等数学研究. 2017, 20(3).

(作者单位:广东科技学院,广东 东莞 523000)