查找错因 纾解“因式分解”之惑

2020-10-20 18:38杨秀园
广告大观 2020年3期
关键词:公因式乘法分组

杨秀园

运算是数学的灵魂,因式分解作为等式的恒等变形运算,也是每年中考数学的必考内容。根据教材知识点,同学们除了应该掌握提公因式法、分组分解法、公式法、十字相乘法等基本方法外,还应该结合不同的多项式,灵活选择特殊的分解方法,如换元法、拆项添项法、主元法等,以提高因式分解解题能力。当然,该节内容也是初中数学的教学难点,很多学生在对因式分解的方法和技巧学习时出现共性错误,通过梳理这些错因,有针对性地施以指导,让因式分解迎刃而解。

一、在因式分解中概念模糊的共性错误与成因剖析

将一个多项式转换为几个整式的积的形式,就是对多项式进行因式分解。在实际解题中,很多学生会对因式分解的概念产生错误理解,以致于在对多项式进行因式分解时,分解不彻底,未能化成“积”的形式。如某题中:,在进行因式分解时,有学生这样做:原式=。很显然,从概念来看,最终化解的式子并非“积”的形式,而是“减”式。之所以出现这种错误,与学生对“积”的形式理解不到位有关。观察该多项式可以发现后半部分符合,因此,可以将后半部分进行组合,将原式化成。所以说,概念混淆,导致最终因式分解未能转换成“积”的形式。不过,还有学生虽然认识到“积”的形式,但却忽视“整式”的积的形式。如在某题中:,对该多项式进行分解时,有学生这样做,原式=。看似是“积”的形式,但对于因式部分却不是整式,正确的解法应该运用十字相乘法,将原式=。在因式分解中,数式分解是有范围的。如某题中:,有学生在对原式进行分解时,将原式=,从有理数范围来看,这种解法是正确的,但对于实数范围而言,显然是错误的。应该将原式=。另外,有些学生在对多项式进行分解时,忽视了“恒等变形”。如某题中:,有学生这样解,将原式=,通过对原式中的每一项都乘以“2”,使其符合平方差公式法,但对于原式,却破坏了因式分解的“恒等性”,因此,需要将提出来,得到原式=。

二、在因式分解中分解方法不熟练的共性错误与成因剖析

在基本的因式分解方法学习中,一些学生对解法不熟练,使得解题错误千差万别。现着重就其共性错误进行梳理,提醒学生能够从这些错误中不断纠正,提高解题正确率。提公因式法是最基本的因式分解方法,在进行公因式提取时,要对多项式的每一项进行细致对照,不能漏项。如某题中,该多项式的每个部分都有,可以作为公因式提取出来,另外,对于各项的系数,“20”、“15”、“5”,都有公因式“5”,但有学生在运用提公因式法时,将原式=。观察该“积”的形式,显然是存在漏项。剖析其原因,一方面可能是学生马虎,粗心造成的,另一方面可能是对“分配律”理解不深刻,正确的解法应该是原式=。无独有偶,当公因式在提取时,如果前面有“负”号,则括号内的各项要变号。但有学生忽略变号问题。如某题中:,梳理各项,都有公因式“”,由于第一项为“负号”,所以在提取时要将“”作为公因式,后面的各项符号要变化。正确的解法应该是原式=。在运用十字相乘法时,有学生未能将“ab=q”且“a+b=p”作为必要条件,导致因式分解错误。如某题中:,很多学生通过十字相乘法,得出“”,于是便将原式=,但仔细观察学生的解题过程发现,虽然满足“ab=q”,但对于“”,所以原式分解方法是不正确的。在运用分组分解法时,需要把握各组之间仍有公因式可提,或者各组还可以运用其他分解法来继续分解。但一些学生,仅仅关注各分组的分解,却忽视两组间的分解。如某题中:,将原式=,导致该式分解中未能实现“积”的形式。剖析其原因,主要是学生在提取公因式时,忽视了两组间的继续分解,应该对分组进行优化,确保两组间能够继续分解。正确的解法应该是原式=。

三、在因式分解中对特殊解法的灵活运用

在中考数学试题命题中,除了对基本概念、算理、方法的考查外,还会适当延伸和增加試题难度。以因式分解类题型为例,除了常规分解因式方法外,学生还要能够根据不同的多项式特点,选择合理的分解技巧和方法,来化繁为简,化难为易。如某题中:,观察该多项式,似乎没有公因式可提取,采用分组法也难以分解,因为没有一次项。这时,我们可以利用拆分法,将“5”进行拆分为“1”和“4”,来创造因式分解的条件。由此,原式=,前者可以利用立方和公式,转换为,后者可以利用平方差公式,转换为,最终得到。除了拆分,还可以采用添项法,来构成便于因式分解的多项式。如某题中,观察该多项式,无法直接进行因式分解。但可以通过添加,再减去两个项,则将原式转换为,前三项可以构成平方和公式,与后面的构成平方差公式,从而让因式分解得以完成。需要强调的是,同学们在进行多项式拆项、添项时,一定要观察多项式结构,要确保后续各项间能够进行继续分解。

总之,因式分解对学生数学知识、技能、思维、方法考查较高,学生在进行多项式分解时,要细心,要灵活选择适当的分解方法,特别是面对常规方法无法解决的多项式时,要尝试从添加项、换元法、巧妙组合等途径,来创造条件,突破难点,激活数学思维,提高解题能力。

(作者单位:遵义市湄潭县大芦学校)

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