浅谈解题的大方向

关传平

【摘要】如果说灯塔是茫茫大海中的一抹亮光，那么解题方向就是浩瀚题海中的成功向导，方向是解题之本，是解题路上的星辰，引导我们沿着正确的道路前行。所谓解题的大方向，就是从总体上化难为易、从混沌到有序、拉近条件和结论等。在把握大方向的前提下，再探寻并确定具体的解题方法。

【关键字】数学   解题

【中图分类号】G633.6【文献标识码】A【文章编号】1992-7711（2020）08-157-01

方向一：化难为易、化繁为简

例1已知函数                 ，             对任意的                    都有            的图像在             图像的上方，求m的取值范围。

解析：因为对任意的                     都有             的图像在

图像的上方，所以                 ，对                     恒成立，即m< ex-xlnx对                     恒成立，令         =  ex-xlnx ，则只需求p（x）在                  上的最小值即可，转化成求最值问题，最值问题是高中阶段学生非常熟悉的问题，从而实现了化难为易、化繁为简的目的。这也是我们经常说的熟悉化原则，就是把不熟悉的知识和问题转化为教材上或大家熟知的知识和问题，或者转化成解题者曾经解答过的问题。现在 处理       =  ex-xlnx在

的最小值，根据解析式的特点，应该想到导数法，则        =  ex-lnx-1，如何判断         的符号，常规的方法是继续求导，求导        =          后在                   上的值有正有負，     有增有减，仍然不易确定       的符号，会陷入复杂的运算当中。现在我们另辟捷径，不等式ex≥x+1（x=0时取等号）和lnx≤x-1（x=1时取等号）是高中阶段学生需要掌握的两个重要的结论，所以在区间                    上有：ex≥x+1>x>lnx+1，所以ex>lnx+1（这里是给出解题的方向，解答题使用时需要写出简单地证明），即p'（x）= ex-lnx-1>0，p（x）在

上单调递增，所以  p（x）>p（    ）=e -       ln       =   e+       ln3，故得：m≤   e+       ln3.复杂问题简单化，是数学永远追求的主题，这就要求我们解题时，要朝着简化的大方向前行，才能速战速决。

方向二：从混沌到有序

例2已知关于x的函数f（x）=4-a-     （a∈R）                                的定义域为D，存在区间[m，n]? D，f（x）的值域也是[m，n]，当a变化时，试求n-m的最大值。

解析：本题求n-m的最值，而[m，n]只不过是定义域的一个子区间，恰好又是值域，解析式里面又含a，很难求出结果，使问题处于混沌状态，思路不清，方向不明，怎么办？下面让我们理顺一下，弄清问题的来龙去脉，从条件入手，先研究f（x）的性质：f（x）=4-a-      （a∈R）的定义域D=（-∞，0）∪（0，+∞），a=0时显然不满足题意，则f（x）的单调性（-∞，0），（0，+∞）是在上单调递增。由题意[m，n] ? D，则0?[m，n]，且m

因此满足：

，也即是                          ，

问题分析到此处，让我们关注问题解决的目标，题意中给出的是当a变化时，求n-m的最值，上面已经找到它们之间的关系，于是用a表示n-m即可，所以

n-m=（m+n）2-4mn=（4-a）2-4·  a2=  -8a2-8a+16

= -8（a+     ）+18

因为-2

方向三：拉近条件与结论

例3已知sin（       -α）=k，则sin（       +α）+cos（       -α）的值

是                .

解析：本题中给出的已知角是     -α，待求的角是       +α和       -α，寻找联系，拉近条件和结论，因为       +α= π-（

-α）、       -α=       + （      -α），所以由誘导公式可以得到：sin（       +α）=sin[ π-（    -α）]=sin（       -α）=k，cos（       -α）=

cos[      +（    -α）]=-sin（       -α）=-k，sin（       +α）+cos（

-α）=k+（-k）=0.

例4已知正四面体V-ABC，其内切球的球心是O，半径为3，线段PQ是球O的一条动直径（P、Q是直径的两端点），动点M是正四面体V-ABC的表面上任意一点，则MP·MQ取值范围是                 .

解析：MP·MQ=（MO+OP）·（MO+OQ）=MO2+MO·（OQ+OP）+OP·OQ=MO2-9

由于正四面体的外接球的半径与内切球的半径之比为3，这个结论我们可以证明，也要求学生需记住，方便解题，于是MO∈[3，9]，所以MO2-9∈[0，72]。这里面关键的一步是将MP用MO+OP表示，MQ用MO+OQ表示，为什么这样表示，因为题中OP和OQ共线且反向，它们的模都是3，是已知的，其实就是用已知表示未知，从而拉近了条件和结论。一桥飞架南北，天堑变通途，解题如架桥，就是在条件和结论之间架起联系的桥梁。

通过以上例题可以发现，解题时把握大方向至关重要。有时方向一开始不太清晰，需要我们在探索和辨析中逐步明确，但无论如何，我们在踏踏实实解题的同时，不能只顾拉车，还要抬头看路，寻找正确的大方向！