数学建模在三角内容上的应用

范立东

【摘要】在教育教学改革进程中，人们的观念从以前只关注学生成绩，到现在逐步转向关注和培养学生素质的发展。在高中数学教学过程中，教师可以组织学生进行一些数学建模活动，是提高学生数学核心素养的重要途径。同时三角函数在工程、物理、测量、天文等方面都有广泛应用，大多数涉及与角度、周期等有關的问题，都可以考虑建立“三角函数模型”，应用三角函数的相关知识予以解决。

【关键字】数学建模   三角函数   周期

【中图分类号】G633.6【文献标识码】A【文章编号】1992-7711（2020）08-164-01

引言

在现实世界中，三角函数是刻画周期现象或规律的一种数学模型，对研究实际生活中的具有周期规律的问题具有十分重要的作用。建立三角函数模型是指：充分利用数形结合的思想以及图形语言和符号语言，利用三角、物理或其他相关知识，根据搜集到的数据，找出变化规律，建立关系式，从而将实际问题转变为有关三角函数的问题，最终问题的数学化得到实现。

一、在工程测量等方面，涉及到与三角形图形相关问题时，可以考虑结合正弦定理、余弦定理来建立三角函数模型

例1如图所示，某村庄A旁边有两条公路AB，AC，它们夹角为60°，现在当地政府要在两条公路之间的范围内规划建立一座食品加工厂P，同时要在AB公路边上建仓库M，在AC公路边上建仓库N，要求MN、PM、PN都为2（km）.怎样设计M、N的位置，使得该食品加工厂产生的噪声对村庄A居民的影响最小？

分析：要使该厂产生的噪声对村庄A居民的影响最小，则该厂与村庄A的距离AP必须要最大。由于△MNP为等边三角形，且边长固定，发现P点的位置随∠AMN的变化而变化，故可以考虑建立AP与∠AMN关系的三角函数模型。

解：设∠AMN=θ，在△AMN中，由正弦定理，

得         =           =                          ，

所以AN=      sinθ，AM=     sin（120°-θ）.在△AMP中，由余弦定理，得AP2=AM2+MP2-2AM·MP·cos∠AMP

=     sin2（θ+60°）+4-         sin（θ+60°）cos（θ+60°）

=     [1-cos（2θ+120°）]-       sin（2θ+120°）+4

=-     [   sin（2θ+120°）+cos（2θ+120°）]+

=      -     sin（2θ+150°），θ∈（0°，120°）

当且仅当2θ+150°=270°，即θ=60°时，AP最大，此时AN=AM=2千米.

故设计AN=2（km），AM=2（km）时，该食品加工厂产生的噪声对村庄A居民的影响最小。

二、在现实生活中，经常会碰到具有周期变化规律的现象，如潮汐、单摆运动，圆周运动、心脏跳动等等，都可以考虑利用它们的周期规律或图像来建立三角函数模型

例2一般地，在一定的时候，海水受日月引力影响，会发生涨落的现象，即潮汐。已知某货船在涨潮时驶向港口码头，在落潮时又重新返回海洋。在某季节测得该港口每天时间与海水深度（单位：米）的关系表：

该货船航行时，如果船底离海底的距离大于或等于6米以上，则认为航行是安全的。已知该货船吃水深度（即地面离船底的距离）为5.5米，现在该货船5：00驶进港口，想在同一天内又能够安全驶出港口，则该货船能够在该港口内至多停留多长时间（进出港口所需时间忽略）？

分析：先根据数据作出图像，建立适当的三角函数模型，从而解决问题。

解：在直角坐标系中，以时间t为横坐标，水深y为纵坐标，作出散点图.如图：

根据图象和数据，可考虑用函数y=Asin（ωt+φ）+B（A>0，ω>0），来模拟水深与时间之间的依赖关系.从图象数据易得出A=3，B=10，周期T=12，φ=0，由T=      =12，得ω=       ，所以y=3sin     t+10。依题意，当y≥11.5时，该货船就可以进出港口。

如图，在区间[0，24]内，函数

y=3sin     t+10图像与直线y=11.5

四个交点。

由3sin     t+10=11.5，所以，sin     t=      ，t∈[0，24]

解得tA=1，tB=5，tC=13，tD=17.

由于该货船从5：00进入港口，可以17：00离开港口，所以该货船在港口内至多可以停留12小时。

三.在一些物理问题上，常常会涉及到与角度有关的力学问题，由于力是矢量，故可以利用向量工具来建立三角函数模型

例3如图（1）所示，一根绳子同时经过定滑轮A和定滑轮B，在定滑轮A和定滑轮B两端分别挂有5N和3N的物体，现在滑轮之间的绳上挂一个物体，重量为m（N），此时3个物体处于平衡静止状态，求m的取值范围。

分析：先建立直角坐标系，设出角度，结合向量相关知识，建立m关于某角的三角函数模型。

解：  如图（2）建立直角坐标系，设OB与y轴的正半轴的夹角为α，OA与y轴的正半轴的夹角为β，则由三角函数定义得OB=（3sinα，3cosα），OA=（-5sinβ，5cosβ）， OC=（0，-m），由于系统处于平衡状态，∴OC+OB+OA=0

∴  3sinα=5sinβ          平方相加得：9=25-10mcosβ+m2，

3cosα=m-5sinβ                即 m2-10mcosβ+16=0（*），

△=100cos2β-64≥0，∴   ≤cosβ<1. 由（*）解得m=5cosβ± 25cos2β-16，由m>0，∴m=5cosβ+  25cos2β-16，

cosβ∈[      ，1）这里m是cosβ关于的增函数， ∴正数m的取值范围为[4，8）.

总之，三角函数模型是解决实际问题的有力工具，在三角内容教学中，教师可以根据实际问题来锻炼学生的建模能力。数学建模可以提高学生学习数学的热情，能够让学生感受数学之美在于学以致用。同时，通过数学建模，在一定程度上，学生的创造能力和数学核心素养都会得到提升。