如何构造三角形中位线

2020-10-29 05:43王翰琛
关键词:外角位线平分线

三角形的中位线定理,是一个很有价值的定理,解题时若遇到中点,它是必须被联想到的定理之一.但是,在题目中往往只知道一个中点,而另一个中点未知,需要同学们根据题目的特点去寻找.下面,就向大家介绍几种构造中位线的方法,供参考.

一、连接两点构造中位线

例1 如图1.已知△ABC.分别以AB,AC为边向外作两个等边三角形ABM和ACN.D,E,F分别是MB.BC,CN的中点,连接DE、EF。求证:DE=EF

证明:连接CM,BN,如图2.

△ABM和△ACN是等边三角形,易证△MAC≌△BAN(边角边).

∴MC=BN.

∵D,E,F分别是MB,BC,CN的中点,

∴DE=1/2MC,EF=1/2BN,从而DE=EF.

二、用“角平分线+垂直”构造中位线

例2 已知M为△ABC的边BC的中点.AB=12,AC=18.BD⊥AD于D,连接MD.

(1)如图3,若AD为∠BAC的平分线,求MD的长:

(2)如图4,若AD为△ABC的外角的平分線,求MD的长,

解:()如图5.延长BD交AC于E.

∵AD为∠BAC的平分线,BD⊥AD,

∴BD=DE,AE=AB=12.

∴CE=AC-AE=18-12=6.

又∵M为BC的中点,

∴MD是△BCE的中位线,MD=3.

(2)延长BD,CA交于E,如图6.仿(1),CE=AC+AE=AC+AB=30,

∴MD=CE2=15.

三、倍长法构造中位线

例3 如图7.在△ABC中,∠ABC=90° ,BA=BC.△BEF为等腰直角三角形,

如何构造三角形中位线

吉林省长春市解放大路学校

王翰琛

三角形的中位线定理,是一个很有价值的定理,解题时若遇到中点,它是必须被联想到的定理之一.但是,在题目中往往只知道一个中点,而另一个中点未知,需要同学们根据题目的特点去寻找.下面,就向大家介绍几种构造中位线的方法,供参考.

一、连接两点构造中位线

例1 如图1.已知△ABC.分别以AB,AC为边向外作两个等边三角形ABM和ACN.D,E,F分别是MB.BC,CN的中点,连接DE、EF。求证:DE=EF

证明:连接CM,BN,如图2.

△ABM和△ACN是等边三角形,易证△MAC≌△BAN(边角边).

∴MC=BN.

∵D,E,F分别是MB,BC,CN的中点,

∴DE=1/2MC,EF=1/2BN,从而DE=EF.

二、用“角平分线+垂直”构造中位线

例2 已知M为△ABC的边BC的中点.AB=12,AC=18.BD⊥AD于D,连接MD.

(1)如图3,若AD为∠BAC的平分线,求MD的长:

(2)如图4,若AD为△ABC的外角的平分线,求MD的长,

解:()如图5.延长BD交AC于E.

∵AD为∠BAC的平分线,BD⊥AD,

∴BD=DE,AE=AB=12.

∴CE=AC-AE=18-12=6.

又∵M为BC的中点,

∴MD是△BCE的中位线,MD=3.

(2)延长BD,CA交于E,如图6.仿(1),CE=AC+AE=AC+AB=30,

∴MD=CE2=15.

三、倍长法构造中位线

例3 如图7.在△ABC中,∠ABC=90° ,BA=BC.△BEF为等腰直角三角形,

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