追根究底 助力深度学习
——“植树问题”的教学实践与思考

□徐敏月 戴银杏

植树问题的除法属于包含除类型。在多年的教学中，笔者发现班里总有一部分学生好像已经会了，教学时总能说出教师想要的答案，因而耐不下心去倾听教师的讲解，实则他们并不理解为什么这样做，课后变式练习时，这些学生往往出错。如何纠正这种浅层次学习现象，促进学生深度学习呢？笔者从以下四方面进行了实践与思考。

一、在联系旧知中溯源

教学时，引导学生联系旧知识学习新知识，能使他们在学习新知时感到不陌生。植树问题的关键是求间隔（段数），属于除法中的包含除。因此，笔者从除法入手，让植树问题与除法的意义建立联系。为了了解学生对除法的掌握情况，笔者做了一个前测：“请你用20÷5=4编两种不同类型的题并画图表示题目的意思。”（如果只要求编一种类型，学生基本只编等分除的类型）全班40名同学的编题、画图情况统计如下：

正确人数编题画图等分除35人27人包含除27人14人两种类型都对5人

从统计结果看，大部分学生对包含除的理解和应用比较薄弱。如何改善这一状况，为植树问题的学习打好基础呢？笔者在课始选取了四份前测作业（见右图），组织学生进行诊断、分析，以期加深学生对包含除意义的理解。

【课堂实录】

1.呈现徐同学和张同学的作业。

师：他们错在哪里？

生：没有写平均分。

2.呈现许同学和范同学的作业。

师：他们编的题没有错，为什么都可以用20÷5=4来计算。

生：就是求20里面有（4）个5。

师：问题出在哪里呢？

生：问题出在画图上，分给4个人，只能画4份，他却画了5份。只能做4个蛋糕却从图中看到做了5个蛋糕。

师：是的，让我们一起数一数线段图进行验证。

3.呈现优秀作业，让学生解读分析。

通过辨析对比，学生明确了作业中的易错点，教师用优秀作业进行示范分析，提高了学生对包含除意义的再理解。此环节的教学，追溯植树问题知识的生长点，为学习植树问题的画图打下基础，也丰富了学习素材。

二、在图式结合中体悟

植树问题学习的关键是用“对应”思想分析段数与棵数之间的数量关系，达到由“段数”推断“棵数”的目的。因此，结合图示理解算式的含义，通过“对应”建立两个量之间的关系，是本课的重点，也是难点，教学中安排了两次探究活动。

【第一次探究】

1.出示：在20米长的小路一边植树，每隔5米种1棵（两端要栽），一共要种多少棵？

学生反馈有三种解答：①20÷5=4（棵）；②20÷5=4，4+1=5（棵）；③20÷5=4，4+2=6（棵）。

师：三种解答中都有“20÷5=4”，它表示什么意思？你觉得谁的意见正确呢？你想怎么验证？

生：用画图的方法。（师板书：画图法）

2.展示学生作业，请一位同学上台摆图。（简单地画上小树，或用图形代替小树）

师：“20÷5=4”，你能结合图说一说它表示什么意思吗？

生：它表示20米长的小路，每5米种1棵，也就是每5米1段，可以分成4段。

师：可以分成4段，那为什么说可以种5棵树呢？

3.师（指着学生画的图）：你还发现了什么？

生：种树是种在端点上的，两端都种，种的棵数比段数多1。

4.师：不同长度的小路一边栽树（两端要栽）也是这样的规律吗？我们继续探究。

【第二次探究】

出示探究单：

学生独立探究，小组交流，选择两个学生上台反馈。

师：为什么先选比较小的数据计算？

生：这样比较容易画，简单。

师：是的，由简单数据入手得出结论，是一种重要的数学思想方法。（板书：简→繁）

第一次探究让学生通过画图直观理解，初步感知“对应”思想下棵数与段数的关系，理解算式中两个“4”的不同意义，同时明确为什么要加1。

第二次探究让学生在开放的背景下，通过图式结合体验植树问题背后的数学思想，实现由段数推断棵数的目的。学生在探究中意识到小数据操作易于发现规律，通过建模，直接得到1000米的路要植树多少棵的算法。化繁为简的数学思想方法成为学生学习的一种内在需求。

三、在深度对比中施策

本节课安排了两次比较，但重点不同。第一次比较使学生理解段与棵的不同，段数是求20里面有（）个5；第二次比较使学生发现解决植树问题的关键是明确段数。

【第一次比较】

师：我们之前编的题和今天学的植树问题有什么不一样的地方？（出示学生前测编题，如下图）

生：之前是求几段，现在是求几棵。（板书：段与棵）

师：平均分得到的是一段一段的，可种树是种在哪里的？

生：种树是种在端点上的。

师：两者有什么相同的地方吗？

生：都是先求20里面有（ ）个5。

师：是啊，这就是二年级的除法应用题。求几棵树还要根据两端都栽的要求加1。

第一次比较是教师引导学生比较植树问题和之前编的题的联系和区别，找到植树问题和包含除之间本质的相同点都是先求20里面有（ ）个5，从而使学生理解植树问题的关键是包含除问题，感受知识之间的相互联系。

【第二次比较】

该活动安排在基础练习和变式练习之后，学生先独立思考并解答这些题，然后全班交流反馈并比较。练习设计如下：

师：通过刚才这四道题的解题，你们发现解决植树问题的关键是什么？

生：弄清楚段数。

（学生说，教师课件圈出每题中的“段”）

师：段数可以怎么得到呢？

生：利用除法来计算，用“总距离÷每段距离=段数”或“已知的棵树-1=段数”求出来。

解决植树问题的关键是弄清楚段数。而段数的求法在两端都种的情况下无非就是两种：一种是总距离÷每段距离=段数，另一种是棵数-1=段数，学生在解决两端都栽这类植树问题时思路清晰明了了，就能为学习其他类型的植树问题打下良好的基础。

四、在学以致用中综合

教学时教师还要引导学生透过生活现象寻找与植树问题类似的问题，并用学到的“植树问题”的原理来解释生活中的现象，从而夯实植树问题的知识点，感受数学与生活的紧密联系。

【课堂实录】

师：今天学习了植树问题，如果把总长看成一条路，那么这些点可以看成树。

课件呈现：

生：马路上的路灯问题。假如每隔几米安装一盏路灯，一条路上两端都安装，一共可以安装几盏路灯？

生：上楼的问题。从1楼到2楼需要30秒，那么从3楼到6楼需要多少秒？

生：排队人数的问题。一排一共有20名同学，每两个同学之间是1米，这一排一共有多少米？

师：老师也找了一些生活中的植树问题。

教师一边演示课件（见下图），一边追问。

师：桥栏为总长，什么是树呢？

生：桥墩为树，桥墩与桥墩之间为段。

师：从公交车牌上你发现了什么？

生：站点为树，相邻站之间为段，起点与终点之间为总距离……

师：观察这些问题你有什么发现？

生：我发现都是关于段数和点（棵）数的问题。

本环节通过引发学生寻找生活中的其他“植树问题”，拓展了知识的外延。

课后笔者进行了后测，后测情况统计分析如下：

后测中没有学生因为不理解而画错图，能明显感受到解决两端都栽的植树问题的数学模型学生已经牢固掌握，学生能够清晰沟通现实生活情景与植树问题的联系。错例中求经过的时间，相当于求总距离，一些学生没能理解发第13辆车时前面已经相隔了13-1=12（间隔），但可喜的是重新画图后，他们都能自己订正。与往届学生作业比较，本届学生正确率高出许多。