“力线”模型在机械波能量传播中的应用
——以大学物理课程为例

胡树铎

（河西学院物理与机电工程学院，甘肃 张掖 734000）

引言

“力线”模型最初是法拉第为解释电磁体之间非接触力而引入的.法拉第想象力线是物质的，充满整个空间，其在纵向具有张力，在横向彼此排斥［1］.通过“力线”模型的建立，形象呈现了电磁场的空间结构，在基础物理教学中使学生对电磁场有了直观理解，降低了学习的难度.

理工科《大学物理》课程教学过程中，为描述机械波在各向同性介质中传播时的能量密度变化情况，引入能流密度的概念.但这一概念的物理定义不够直观和形象，使部分学生理解不够透彻，不能准确把握其物理本质.在各向同性介质中，不考虑介质吸收的情况下，平面波能量密度不发生变化，而球面波和柱面波的能量密度发生衰减.对于球面波和柱面波能量密度衰减特征，教材中用横波振幅的衰减来解释.但用这种方法描述时也存在大部分学生理解困难的现象，特别是在解释纵波能量传播特征时表现得尤为突出.

针对上述问题，在教学中，笔者尝试建立类似“力线”的“波射线”模型，用“波射线”空间密度的变化来描述机械波的能量传播特征，取得不错的教学效果.因此，有必要对这一物理过程建立相应的数学模型，以期后续对这一问题的讲授提供帮助.

1 机械波能量的传播特征

现以在弦线中传播的横波为例（如图1所示）来说明机械波能量的传播特征.当机械振动由波源传播到介质的某处时，该处原来不动的某一线元（图1阴影部分）开始振动，具有动能，同时该处的线元也将产生形变，因而也具有势能，机械波的能量依靠介质由波源向外传播出去.该线元 xΔ 的机械能为［2］：

式中：λ 指弦线的线密度， A 指线元的振幅，ω 指波源的角频率，u 指波的传播速度，φ 指波源的初相.

由（1）式可以看出，线元的机械能随时间呈周期性变化.为更好地描述机械波能量在介质中的传播，引入能量密度的概念（即介质中单位体积内的能量），用w 表示.设弦线的横截面积为S，体密度为ρ，并且体密度与线密度的关系为Sλρ =，则其能量密度为：

图1 机械波能量特征

可见，机械波的能量密度是随时间呈周期性变化，为方便起见，取其一周期T 内的平均值：

虽然上式是来自弦线中横波的特殊情况，但其能量与振幅的平方、频率的平方成正比的结论对所有机械波都是适用的［2］.

2 波通量的定义

机械波的能量是由波源开始，依靠弹性介质以波速u 向外传递，为描述这一过程，引入“波射线”的概念（如图2所示），规定：

（1）波射线是有向射线，起始于波源，射线的箭头以波速u沿介质前进.

图2 波射线示意图

表示单位体积内波的平均能量以波速u 向外连续传递.

图3 通过曲面的波通量

3 平面波、球面波及柱面波能量的传播特征

图4 平面波

3.1 平面波

3.2 球面波

图5 球面波

图6 球面波平均能量密度随距离衰减曲线

表明：柱面波在传播过程中，波场强度K⇀的大小与其离开波源的距离成反比关系.同时也表明柱面波平均能量密度在传播过程中呈衰减状态，衰减曲线如图8所示［3］.

4 教学中的比较

上述模型的建立，是类比电磁场中的“力线”而引入“波射线”的. 因而，两者表示所对应能量空间分布特征在物理本质上是否一致，是要考虑的问题.此外，目前我校所用《大学物理》教材中，章节编排上多选择将电磁学部分置于机械波之前［2-5］.那么，如果两者在物理本质上是等价的，就可降低学生学习的难度.现以点电荷产生的静电场和机械波中的球面波为例进行比较说明.

设真空电容率为0ε ，有一带正电的点电荷 q+ ，其所产生的静电场如图9所示（为简单起见，示意图以二维形式表示），在空间某点p 处场强的大小为：

图8 柱面波平均能量密度随距离衰减曲线

图9q+ 产生静电场空间结构

5 结论

从上述分析可以看出，建立类似电磁场中“力线”的“波射线”模型，可以有效地描述机械波在各向同性介质中传播时的能量变化特征.相对用能流密度表示机械波能量的传播特征，该模型有以下两个优点：

（1）物理图像比较形象、直观，很好地阐释了机械波能量的传播本质.

（2）教学时，学生已掌握电磁场能量空间分布规律，可以较容易理解这一物理过程，降低了学习的难度，加深了对物理本质的理解.