分段压裂水平井的温度分布预测模型

罗红文， 李海涛， 李 颖， 蒋贝贝， 卢 宇， 崔小江

(西南石油大学油气藏地质及开发工程国家重点实验室， 成都 610500)

基于分布式温度测试(distributed temperature sensors, DTS)、生产测井工具(production logging tool, PLT)等的井下温度测试越来越多地被用于水平井井下状况监测，根据测得的井下温度数据，可以定性判断产水位置、识别流体类型、监测套管漏失等[1-3]。近年来，井下温度测试也逐渐被应用于压裂水平井，用以诊断人工裂缝、评价压裂改造效果、评价完井效果等[4-7]。通过建立理论模型，井下温度测试数据还可用于定量解释储层参数、裂缝参数、产出剖面预测等。在早期直井温度模型的基础之上[8-10]，中外学者在水平井温度动态研究方面做了大量研究工作，并建立了相应的数学模型。Yoshioka等[11]建立了一套温度模型用于求解水平油井的温度、压力分布，并基于现场温度测试数据，定量解释了气/水流入位置[12-13]。Li等[14]建立了一套瞬态温度预测模型用以模拟水驱油藏水平井温度动态，并进行了几口实例井分析。Zhu等[15-16]提出了一套综合的油水两相温度预测模型，同时还建立起了一套井下温度数据反演解释方法，实现了基于温度测试的水平井产出剖面定量解释。然而，关于压裂水平井温度剖面预测方面的研究相对较少，近年来也有所涉及。Yoshida等[17]建立了一套简化的页岩气藏压裂水平井稳态温度预测模型，Cui[18]也建立起了一套页岩气井半解析稳态温度模型，但上述模型均假设储层为均质，未考虑储层中的各向异性和模型耦合，模型计算效率也有待提高。

通过上述研究可以看出，尽管诸多学者在水平油/气井温度预测方面做了大量研究工作，但关于压裂水平井温度剖面预测方面的研究还存在许多不足，尤其是在低渗气藏压裂水平井温度剖面预测方面的研究鲜有涉及。现有压裂水平井温度模型多数基于均质储层假设，未考虑低渗储层和裂缝中存在的非达西流动，且往往忽略了井筒中摩擦效应对井筒温度剖面的影响，与低渗气藏压裂水平井井下实际情况仍有较大差异。因此，在考虑多种微量热效应的基础之上，还考虑了非达西流动和井筒摩擦效应等对压裂水平井温度剖面的影响，建立了一套低渗气藏压裂水平井温度预测模型并耦合求解，用以预测低渗气藏压裂水平井温度剖面，从而分析低渗气藏压裂水平井温度分布特征、找到裂缝参数对温度剖面的影响规律、进行温度剖面敏感性分析、确定影响低渗气藏压裂水平井温度剖面的主导因素，为实现基于井下温度测试的产出剖面解释、裂缝参数解释和压裂改造效果定量评价等在低渗气藏中的应用提供理论基础，进而为实现低渗气藏高效开发提供指导。

1 数学模型

建立的温度预测模型由3部分组成：气藏模型、裂缝模型、井筒模型(图1)。每一个部分都包含了对应的渗流模型和热学模型。基于质量守恒建立的渗流模型和基于能量守恒建立的热学模型分别用于表征各部分之间的流体交换和热量传递。将建立的储层模型、裂缝模型和井筒模型耦合求解，即可获得低渗气藏压裂水平井的温度剖面。

dF表示裂缝间距；wF表示裂缝宽度；xf表示裂缝半长；nF表示裂缝数量；Lx表示储层宽度；Ly表示储层长度；Lz表示储层厚度；xe表示储层半宽；ye表示裂缝半间距；ze表示储层半厚度图1 多级压裂水平井物理模型示意图Fig.1 Schematic diagram of multi-fractured horizontal well

建立的温度预测模型基于如下基本假设。

(1)封闭边界的箱型气藏，储层等厚，储层渗透率各向异性。

(2)有限导流的人工裂缝垂直于水平井筒，为等厚的平板状，裂缝高度等于储层厚度。

(3)气藏单相稳态、非等温渗流，考虑非达西流动的影响。

(4)流体只能通过裂缝流入水平井筒。

1.1 气藏、裂缝模型

分别建立气藏、裂缝的渗流模型和热学模型。渗流模型用以求解气藏和裂缝中的压力和流体流量分布，热学模型用以计算储层和裂缝中的温度分布。

1.1.1 渗流模型

由于在某一时刻或较短时间段内，储层压力和温度变化较小，压裂水平井温度剖面变化也足够小[17, 19]，可忽略在某一时刻或较短时间段内流量随时间变化，因此，建立的气藏、裂缝渗流模型均考虑为稳态渗流。

根据质量守恒，气藏稳态渗流模型可表示为[15, 20]

(1)

式(1)中：k为渗透率，mD；ρg为气体密度，kg/m3；p为储层压力，MPa；μg为气体黏度，mPa·s。

结合真实气体的状态方程和拟压力函数，并考虑非达西渗流，推导的气藏渗流模型可表示为

(2)

式(2)中：σg为储层非达西因子；ψ为拟压力，MPa2/mPa·s。

其中拟压力函数ψ定义为

(3)

式(3)中：po为参考压力，MPa；Z为气体偏差因子。

考虑储层中的渗透率各向异性，则稳态气藏渗流模型为

(4)

式(4)中：kx、ky、kz分别为储层x、y、z方向的渗透率, mD，σgx、σgy、σgz分别为储层x、y、z方向的非达西因子。

初始条件和边界条件为

(5)

式(5)中：pi为初始地层压力，MPa；ψi为初始拟压力，MPa2/(mPa·s)；Lx、Ly、Lz分别为气藏在x、y、z方向的几何尺寸，m；Pwf井底压力，MPa；ψwf为井底拟压力，MPa2/(mPa·s)。

同样地，在人工裂缝中，基质向裂缝中渗流和裂缝中的流动，在某一时刻或较短时间段内可以忽略流量随时间的变化[18]，也考虑为稳态渗流，且由于裂缝宽度较小，忽略裂缝宽度方向(y方向)上流动，则裂缝中的渗流方程表示为

(6)

式(6)中：ψF为裂缝中的拟压力，MPa2/mPa·s；σFx和σFz分别为裂缝中x,z方向的非达西因子；qF裂缝中的流体流速，m/s；kF为裂缝中的渗透率，mD；下标F表示人工裂缝。

初始条件和边界条件为

(7)

式(7)中：xF为裂缝半长，m；h为储层厚度，m。

1.1.2 热学模型

基于能量守恒[21]，考虑了包括热传导、热对流、热膨胀、焦耳汤普逊效应和黏性耗散在内的多种微热效应，推导的气藏热学模型为

qwb=0

(8)

式(8)中：Cp为热容，J/(kg·K)；β为热膨胀系数，1/℃；T为储层中的温度, ℃；KT为热导率，J/(m·s·℃)；qwb表示井筒和储层之间单位体积的热传导速率，J/(m3·s)。

岩石和流体的平均热容为

(9)

考虑储层中的各向异性，气藏热学模型可表示为

(10)

在人工裂缝中，相比热传导，由于流体流动引起的热对流引起的能量变化占绝对主导，且裂缝流动模型中忽略了裂缝宽度方向上的流动，因此裂缝宽度方向上的由于热传导引起的能量变化可以忽略，根据式(8)，则有裂缝热学模型为

(11)

式(11)中：TF为裂缝中的流体温度, ℃；σF为裂缝中的非达西因子；pF为裂缝中的压力，MPa；kF为裂缝渗透率，mD；KTF为裂缝中的热导率，J/(m·s·℃)。

初始条件和边界条件为

(12)

式(12)中：Twb为井筒中的流体温度， ℃；Ti为初始地层温度， ℃；rw为井筒半径，m;UTt为综合传热系数[2, 15]，J/(m2·s·℃)。

1.2 井筒模型

井筒模型由井筒流动模型和热学模型组成，基于质量守恒和动量守恒推导的井筒流动模型用以求解井筒中的压力、流体流量分布，基于能量守恒的热学模型用以计算井筒中的温度分布。

1.2.1 流动模型

井筒中任意微元段的流体流动包括两个部分：径向的储层流体流入和轴向的井筒内管流，如图2所示。经每一条裂缝径向流入井筒的流体，与井筒内的上游流体在井筒中的裂缝位置处混合，而后一起流向井筒跟端。而对于固井段，则没有径向流入的流体。

Rinw为井筒内径，m；v为井筒中流体流速，m/s；vⅠ为流入流体的流速，m/s；θ 为水平井筒倾角图2 水平井筒内流体流动示意图Fig.2 Schematic diagram of flow in the horizontal wellbore

根据质量守恒方程，井筒中的流动模型为

(13)

式(13)中：γ为井筒打开程度[13,16]；pwb为井筒中的压力，MPa；ρwb为井筒中的流体密度，kg/m3；vwb为井筒中的流体流速，m/s；ρI为流入流体的密度，kg/m3。

根据动量守恒方程，井筒中的压力梯度方程可表示为

(14)

式(14)中：f为井壁摩擦系数；g为重力加速度，m/s2。

1.2.2 热学模型

根据能量守恒方程，建立了一维井筒热学模型，忽略井筒中流体的动能和黏性剪切，则井筒热学模型可表示为

(15)

式(15)中：TI为流体流入温度，℃；Twb为井筒温度，℃；KJT为焦耳汤普逊系数[16, 22]，℃/MPa。

1.3 耦合模型及求解

求解井筒热学模型可获得压裂水平井的井筒温度剖面，但须先耦合气藏、裂缝和井筒热学模型并迭代求解流入温度TI，然后将耦合求解得出的流入温度代入式(16)计算井筒温度剖面。

1.3.1 耦合模型

气藏、裂缝和井筒热学模型可以通过热能源汇项进行耦合[17, 23]，由于裂缝处和固井段的主导传热方式不同，因此对于压裂水平井而言，裂缝处(井筒打开段)和固井段的耦合热学模型也不同，分别表示如下。

固井段的耦合热学模型为

(16)

裂缝处的耦合热学模型为

(17)

1.3.2 模型求解

建立的压裂水平井温度预测模型考虑气藏、裂缝和井筒模型耦合的综合模型，采用有限差分法编程迭代求解温度预测模型，即可获得压裂水平井温度剖面，模型求解流程如图3所示。由于非等温渗流，流体物性不能视为常数，在迭代计算过程中，还需要对流体物性参数进行修正。

图3 耦合温度预测模型求解流程Fig.3 Solution procedure of the coupled temperature prediction model

2 示例分析及模型验证

计算示例模拟了压裂水平井定产生产时(产量为10×104m3/d)的井筒温度剖面，并采用正交试验分析法进行了压裂水平井温度剖面敏感性分析，计算示例所需的基础参数如表1所示，裂缝参数如表2所示。

表1 计算示例所需的基础参数Table 1 Basic parameters for the examples

表2 各级裂缝参数Table 2 Fracture parameters of each fracturing stage

2.1 压裂水平井温度剖面预测

图4所示为模拟压裂水平井的温度剖面，可以看出，压裂水平井井筒温度剖面在裂缝位置处存在着明显的温降，这是由于气体经裂缝流入井筒时，在裂缝根端存在明显的压降，压降引起的焦汤冷却效应使得流入井筒的气体温度降低，从而导致裂缝位置处存在井筒温降ΔT；而固井段，通过套管热传导，储层不断地向井筒中传递热量，进而加热井筒中的流体，使得固井段井筒温度逐渐升高，裂缝处的温降和固井段的加热效应共同作用使得压裂水平井温度剖面呈现出“锯齿状”。从趾端到跟端，裂缝处的温降和固井段的升温交替重复出现，任一“温降+升温循环”(即“一个锯齿”)都对应着一条有效人工裂缝，因此可以根据现场测试的水平井温度剖面直观判断有效裂缝位置。

图4 压裂水平井井筒温度剖面模拟结果Fig.4 Wellbore temperature profiles of the fractured horizontal well

从图5可以看出，各级裂缝处的井筒温降基本上与裂缝半长正相关，裂缝半长越大，对应裂缝位置处的井筒温度越低，这是因为随裂缝半长的增加，经单一裂缝流入井筒的气体流量越大，冷却效应越明显，使得裂缝位置处的井筒温降幅度越大。因此，对于现场实测井，可以根据所测的温度剖面识别有效裂缝，根据实测温度剖面，计算各级裂缝处对应的温降，可初步诊断裂缝半长的相对大小。

图5 压裂水平井各级裂缝处温降Fig.5 Temperature drops at each fracture location

通过计算图6所示的各级裂缝处温降ΔT与对应裂缝半长xf的比值ΔT/xf发现，尽管各级裂缝半长大小分布无规律(表3)，但从趾端到跟端，各级裂缝的ΔT/xf呈依次递减趋势，这是因为从趾端到跟端经单一裂缝流入井筒的流体流量与井筒流量的比值逐渐减小，使得经单一裂缝流入井筒的流体对井筒的冷却能力逐渐减弱所致。正是基于单相压裂水平井各级裂缝ΔT/xf所呈现出的这种递减趋势，对于出水的压裂水平井，还可根据所测得的温度剖面直接识别出水裂缝。因为当某单一裂缝产水或水平井非均匀产水时，产出水所携带的热量将会加热流入气体，使得出水裂缝位置处的温降效应减弱，各级裂缝的ΔT/xf所呈现出的递减趋势将会受到影响，找到ΔT/xf偏离上述递减趋势的所对应的裂缝，可实现压裂水平井出水位置定量诊断。

图6 各级裂缝位置处的井筒温降与裂缝半长之比ΔT/xfFig.6 The ration of ΔT/xf at each fracture location

2.2 压裂水平井温度剖面敏感性分析

影响压裂水平井温度分布的因素众多，采用正交试验分析法对影响压裂水平井温度分布的主要因素进行敏感性分析。选取包括储层参数、裂缝参数、井筒参数在内的共7个主要影响因素作为正交试验分析的因素，每个因素取3个参数值(表3)，因此，选用L18(37)的正交表进行正交试验设计。评价指标采用水平井第一级裂缝位置处的井筒温度，正交试验方案及结果如表4所示，并采用极差法对正交试验结果进行分析，结果表明各因素对水平井温度剖面的影响程度依次为：裂缝半长>产量>地层渗透率>井筒半径>地层孔隙度>裂缝导流能力>水平倾角(xf>Qg>k>rw>φ>FCD>θ)，影响温度剖面的主导因素为裂缝半长、产量和储层渗透率。

表3 正交试验分析因素及水平设计Table 3 Analysis factors and designed level of the orthogonal experiment

表4 正交试验结果及极差分析Table 4 Results and range analysis for the orthogonal experiment

图7所示为各因素对压裂水平井温度剖面的影响规律，可以看出，井筒温度与裂缝半长、导流能力、地层渗透率、井筒半径正相关，与产量、地层孔隙度、水平倾角负相关。因为压裂水平井定产生产时，随着裂缝半长、导流能力、地层渗透率的增加，生产压差越小，储层气体流入井筒过程中因压降引起热损失越小，井筒温度越高；而井筒半径越大，克服井筒摩阻引起的热损失越少，所以井筒温度越高。随着压裂水平井产量的增加，储层气体流入井筒引起的冷却效应越明显，导致井筒温度越低；而随地层孔隙度的增加，储层流体携带热量向井筒传导过程中的热损失越大，但因孔隙度增加而引起的热损失相对较小[2]，井筒温度降低幅度并不明显。受地温梯度和重力的影响，随着水平倾角的增加，井筒温度也略有降低，当水平倾角为正时，水平井跟端温度甚至会略低于趾端温度。

图7 各因素对压裂水平井井筒温度的影响规律Fig.7 Influences of each factor on wellbore temperature of the fractured horizontal wells

2.3 模型验证

以上述示例中的压裂水平井作为对象，分别采用建立的稳态温度模型和前文中已建立的一套非稳态温度模型[19]预测该压裂水平井生产的温度剖面，从图8中可以看出，两者模拟出的温度剖面拟合度较高，沿水平井筒的温度剖面绝对温度误差较小，最大温度误差为0.005 9 K，远小于由微热效应引起的沿水平井筒的温度变化，可忽略不计，表明采用所建立的稳态温度模型预测某一具体时刻的压裂水平井温度剖面是完全可行的，这也验证了所建立温度模型的准确性。学者们也曾讨论过压裂水平井温度剖面随时间的变化，研究表明在较短时间段内，由于储层压力和温度变化较小，压裂水平井温度剖面变化也足够小[17, 19]，因此，将气藏渗流在短时间内处理为稳态渗流的这种假设也是合理的。建立的稳态温度预测模型的另外一个优势在于，相比前文的非稳态温度模型，本文稳态温度预测模型计算效率有明显提高，这对于实现基于温度测试数据的产出剖面、裂缝参数等的快速反演解释具有重要意义。

图8 温度剖面预测结果验证Fig.8 Validation of the predicted temperature profile

由于产量、裂缝参数等与井筒温度剖面存在着对应的相关性，可以通过反演现场测得的井下温度剖面数据，从而实现基于温度测试的压裂水平井产出剖面、裂缝参数定量解释。只要采用合适的反演算法，所建立的温度预测模型还可作为正演模型，用以预测每一次反演迭代过程中的温度剖面，为实现压裂水平井井下温度剖面反演解释提供模型基础。

3 结论

(1)压裂水平井温度剖面呈现出“锯齿状”，任一“温降+升温”循环(“一个锯齿”)都对应着一条有效人工裂缝，且压裂水平井各级裂缝处的井筒温降基本上与裂缝半长正相关；因此可根据现场测试的水平井温度剖面直观判断有效裂缝条数、各级裂缝半长的相对大小；从趾端到跟端，各级裂缝处温降与对应裂缝半长的比值ΔT/xf依次递减，基于此，找到ΔT/xf偏离上述递减趋势所对应的裂缝，可实现压裂水平井出水位置定量诊断。

(2)敏感性结果表明各因素对压裂水平井温度剖面的影响程度依次为：xf>Qg>k>rw>φ>FCD>θ；井筒温度与裂缝半长、导流能力、地层渗透率、井筒半径正相，与产量、地层孔隙度、水平倾角负相关。

(3)建立的模型能较为准确地预测低渗气藏压裂水平井温度剖面，其研究成果为实现基于温度测试解释压裂水平井产出剖面提供了模型基础和理论支撑，对于压裂水平井改造效果评价和出水位置定量诊断具有重要的参考价值。